4群馬大学 2025年 数学 第4問解答・解説

0でない複素数を $\alpha=x+iy$ とおく。

(1) 各辺の長さは $$AB=|\alpha^2-\alpha|=|\alpha|\,|\alpha-1|,\qquad AC=|-2\alpha|=2|\alpha|,\qquad BC=|\alpha^2+\alpha|=|\alpha|\,|\alpha+1|.$$ $|\alpha|\ne0$ なので、三角形 $ABC$ が正三角形であるための条件は $$|\alpha-1|=|\alpha+1|=2$$ である。まず最初の二つの絶対値を等しくすると $$(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$$ より $x=0$。さらに $|\alpha-1|=2$ に代入して $1+y^2=4$、すなわち $y=\pm\sqrt3$ を得る。これらでは三辺がいずれも $2\sqrt3$ となるから、答えは $$\boxed{\alpha=\pm i\sqrt3}.$$

(2) $\alpha\ne0$ より $A\ne C$ である。複素数平面で $A,B,C$ が一直線上にあることは、$(B-A)/(C-A)$ が実数であることと同値である。ここでは $$\displaystyle \frac{B-A}{C-A}=\frac{\alpha^2-\alpha}{-2\alpha}=\frac{1-\alpha}{2}.$$ したがってこれが実数ならば $\operatorname{Im}\alpha=0$、すなわち $\alpha$ は実数である。逆に $\alpha$ が実数ならば $A,B,C$ は実軸上にあるので、一直線上にある。

(3) $\rho=x^2+y^2>0$ とおくと、各点の座標は $$\displaystyle A=(x,y),\qquad B=(-2xy,\ x^2-y^2),\qquad C=\left(-\frac{x}{\rho},\frac{y}{\rho}\right)$$ となる。まず $x=0$ なら $\alpha\ne0$ なので三点の実部はすべて0であり、三点は虚軸上にある。

次に $x\ne0$ とする。$C-A$ の実部は $-x(1+\rho)/\rho\ne0$ なので、直線 $AC$ は垂直ではない。$B-A$ の実部は $-x(2y+1)$ である。もし $2y+1=0$ なら、$B-A$ の虚部は $\displaystyle x^2+\frac14>0$ だから直線 $AB$ は垂直となり、$A,B,C$ は一直線上にない。よって一直線上にある場合は $2y+1\ne0$ であり、二直線の傾きを等しくできる。 $$\displaystyle m_{AB}=\frac{x^2-y^2-y}{-x(2y+1)},\qquad m_{AC}=\frac{y(\rho-1)}{x(\rho+1)}.$$ これらが等しい条件を整理すると $$(1+\rho)(x^2-y^2-y)+y(\rho-1)(2y+1)=0 \quad\text{すなわち}\quad \rho^2+x^2-3y^2-2y=0.$$ 左辺は $$\rho^2+x^2-3y^2-2y=(\rho-2y)(\rho+2y+1)$$ と因数分解できる。$x\ne0$ のとき $\rho+2y+1=x^2+(y+1)^2>0$ なので、条件は $\rho=2y$、すなわち $$x^2+(y-1)^2=1$$ となる。逆にこの円周上で $x\ne0$ なら傾きが等しく、三点は一直線上にある。以上より求める範囲は、原点を除く虚軸と、原点を除く中心 $i$、半径1の円周との和集合である。

図の円周は $|\alpha-i|=1$ を表し、虚軸との交点は $0$ と $2i$ である。原点は $\alpha\ne0$ の条件により除き、円の内部は含まない。