4鹿児島大学 2025年 数学 第4問解答・解説

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解答

$\alpha=4+3i$, $\beta=x+i$, $\gamma=8i$ とし、$x$ は実数とする。

(1) $x^2+1>0$ なので $\beta\ne0$。共役複素数を用いて $$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} =\frac{(4+3i)(x-i)}{x^2+1} =\frac{(4x+3)+(3x-4)i}{x^2+1}.$$ この商が実数となる条件は $3x-4=0$ だから $\displaystyle x=\dfrac43$。

(2) 複素平面上で $A=(4,3)$, $B=(x,1)$, $C=(0,8)$ であるから $$\overrightarrow{AB}=(x-4,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-4,5).$$ 両ベクトルは零ではない。直線 $AB$ と $AC$ が垂直となる条件は内積が0であることより $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4(x-4)-10=6-4x=0.$$ よって $\displaystyle x=\dfrac32$。

(3) 虚部を $g(x)$ とおくと $$\displaystyle g(x)=\operatorname{Im}\frac{\alpha}{\beta}=\frac{3x-4}{x^2+1}.$$ 分母は常に正であり $$\displaystyle \frac12-g(x)=\frac{(x-3)^2}{2(x^2+1)}\ge0, \qquad g(x)+\frac92=\frac{(3x+1)^2}{2(x^2+1)}\ge0.$$ 第1式は $x=3$ で等号、第2式は $\displaystyle x=-\dfrac13$ で等号となる。従って最大値は $\displaystyle \dfrac12$、最小値は $\displaystyle -\dfrac92$。

高校範囲・方法: 複素数の四則演算、成分によるベクトル内積、平方完成を用いた。