5鹿児島大学 2025年 数学 第5問解答・解説

分子と分母に $e^{2x}$ を掛けると $$\displaystyle f(x)=\frac{e^{3x}-2}{e^{3x}+1}$$ となる。分母はすべての実数 $x$ に対して正である。

(1) $$\displaystyle f'(x)=\frac{3e^{3x}(e^{3x}+1)-3e^{3x}(e^{3x}-2)}{(e^{3x}+1)^2}=\frac{9e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2}$$ より、$\displaystyle f(0)=-\frac{1}{2}$、$\displaystyle f'(0)=\frac{9}{4}$ である。したがって、点 $\displaystyle (0,-\frac{1}{2})$ における接線は $$\displaystyle l:\ y=\frac{9}{4}x-\frac{1}{2}$$ である。この直線と $y=1$ との交点の $x$ 座標 $a$ は $$\displaystyle 1=\frac{9}{4}a-\frac{1}{2}\quad\text{より}\quad a=\frac{2}{3}$$ である。

(2) (1)の直線を $y=g(x)$ とする。$x>0$ なら $t=e^{3x}>1$ であり、 $$(t+1)^2-4t=(t-1)^2>0$$ だから $$\displaystyle f'(x)=\frac{9t}{(t+1)^2}<\frac{9}{4}.$$ よって $h(x)=g(x)-f(x)$ とおくと、$h(0)=0$ かつ $x>0$ で $\displaystyle h'(x)=\frac{9}{4}-f'(x)>0$ である。したがって $x>0$ では $h(x)>h(0)=0$、すなわち $f(x)<g(x)$ となる。

(3) (2)より $0<x\leq a$ では $g(x)>f(x)$ である。また、 $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x+\log(1+e^{3x})\right)=\frac{e^{3x}-2}{e^{3x}+1}=f(x)$$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_1&=\int_0^{2/3}\{g(x)-f(x)\}\,dx\\ &=\left[-\frac{x}{2}+\frac{9x^2}{8}\right]_0^{2/3}-\left[-2x+\log(1+e^{3x})\right]_0^{2/3}\\ &=\frac{1}{6}-\left(-\frac{4}{3}+\log(1+e^2)-\log 2\right)\\ &=\frac{3}{2}-\log\frac{e^2+1}{2}. \end{aligned}$$

(4) すべての実数 $x$ で $\displaystyle 1-f(x)=\frac{3}{1+e^{3x}}>0$ だから、$a<r$ において $$\displaystyle \begin{aligned} S_2&=\int_{2/3}^{r}\{1-f(x)\}\,dx\\ &=\left[3x-\log(1+e^{3x})\right]_{2/3}^{r}\\ &=3r-\log(1+e^{3r})-2+\log(1+e^2). \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} S(r)&=S_1+S_2\\ &=3r-\log(1+e^{3r})+\log 2-\frac{1}{2}. \end{aligned}$$ さらに $$3r-\log(1+e^{3r})=-\log(1+e^{-3r})\longrightarrow 0\quad(r\to\infty)$$ であるから、 $$\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}S(r)=\log 2-\frac{1}{2}.$$