5秋田大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(i) $u=\log x$ と置換すると $$\displaystyle \int_a^e\frac{dx}{x(\log x)^2} =\int_{\log a}^{1}\frac{du}{u^2} =\left[-\frac1u\right]_{\log a}^{1} =\frac1{\log a}-1.$$ これが1なので $\log a=1/2$、よって $a=\sqrt e$。

(ii) 接点の $x$ 座標を $q>1$、$L=\log q>0$ とする。曲線 $y=(\log x)^3$ の $x=q$ における接線は $$\displaystyle y=L^3+\frac{3L^2}{q}(x-q).$$ これが原点を通る条件は $0=L^3-3L^2=L^2(L-3)$。$L>0$ より $L=3$、$q=e^3$。したがって接線は $y=27x/e^3$。

(iii) 点 $(t,(\log t)^3)$ における接線の $x$ 切片は、$L=\log t>0$ とおけば $$\displaystyle g(t)=t\left(1-\frac{\log t}{3}\right).$$ 微分すると $g'(t)=(2-\log t)/3$。よって $g$ は $1<t<e^2$ で増加し、$t>e^2$ で減少する。また $$\displaystyle \lim\limits _{t\to1+}g(t)=1,\qquad g(e^2)=\frac{e^2}{3},\qquad \lim\limits _{t\to\infty}g(t)=-\infty.$$ 従って $1<t\le e^2$ では値域は $1<g(t)\le e^2/3$、$t\ge e^2$ では値域は $g(t)\le e^2/3$。異なる二解を得るには、増加枝上にも減少枝上にも交点が1つずつ必要十分なので $$\displaystyle 1<k<\frac{e^2}{3}.$$ 端点 $k=1$ は増加枝で達成されず、$k=e^2/3$ は頂点の1解だけである。