6秋田大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(i) 終了条件に該当しないのは、青色で番号が50より大きいボール、すなわち $52,54,\ldots,100$ の25個である。最大限続けるにはこの25個を先に取り出す。その後は残るどのボールも終了条件に該当するので、もう1個取り出して終了する。よって最大は26個。

(ii) 袋Bには赤玉・青玉が各5個ある。5個を並べる色の列では赤玉の個数が0から5までのいずれでも実現可能である。したがって色の並べ方は $$\displaystyle \sum\limits _{r=0}^{5}\binom5r=2^5=32\text{通り}.$$

(iii) 8個を並べるとき、赤玉の個数を $r$ とすると、赤玉と青玉がそれぞれ袋に5個ずつあるため $r\le5$ かつ $8-r\le5$、すなわち $3\le r\le5$。よって色の並べ方は $$\displaystyle \sum\limits _{r=3}^{5}\binom8r=\binom83+\binom84+\binom85=56+70+56=182\text{通り}.$$

(iv) 4個の選び方の総数は $\displaystyle \binom{10}{4}=210$ 通り。最大番号の玉が青玉で、残る3個がそれより小さい赤玉となる場合を数える。最大番号が6, 8, 10のときの選び方はそれぞれ $\displaystyle \binom33=1$, $\displaystyle \binom43=4$, $\displaystyle \binom53=10$ 通りであり、最大番号が2または4では小さい赤玉を3個選べない。したがって有利な選び方は15通りで、求める確率は $$\displaystyle \frac{15}{\binom{10}{4}}=\frac{15}{210}=\frac1{14}.$$