5宮崎大学 2022年 数学 第5問解答・解説

和が10となる異なる札の組は $\{1,9\},\{2,8\},\{3,7\},\{4,6\}$ である。札5はもう1枚の5がなく、札10は札0がないので、これらの札からは後の操作で和10の組はできない。

(1) 例えば $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6)=(1,2,3,4,5,10)$ とする。選んだ札の中には上の4組のどれもそろっていないから、すべての異なる $i,j$ に対して $X_i+X_j\ne10$ である。

(2) 和10となる4組からは、条件 $(\ast\ast)$ が成り立たないためには各組から高々1枚しか選べない。これらから選べる札は高々4枚であり、さらに札5と札10を加えても合計6枚である。したがって、7枚を取り出せば、4組のいずれかから2枚とも取り出すことになり、その2枚の和は10である。

(3) 3回目に初めて条件 $(\ast\ast)$ が成り立つには、最初の2枚は和10でなく、3枚目が最初の2枚のいずれかと和10になればよい。最初の2枚がともに $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ から選ばれ、互いに和10でない順序対は $8\cdot7-4\cdot2=48$ 通りである。それぞれについて、3枚目は2枚の補数のいずれかなので2通りある。また、最初の2枚が5と10の一方および上記8枚の一方からなる順序対は $2\cdot2\cdot8=32$ 通りあり、それぞれ3枚目は上記8枚の補数の1通りである。最初の2枚が5と10である場合は、3枚目で和10の組はできない。よって条件を満たす順序列は $48\cdot2+32=128$ 通りである。全順序列は $10\cdot9\cdot8=720$ 通りだから、求める確率は $\displaystyle \frac{128}{720}=\frac{8}{45}$ である。

(4) 最初の3枚に和10の組がないとき、4回目に組を作れる札は、最初の3枚に含まれる札1,2,3,4,6,7,8,9の補数である。最初の3枚の札の集合を数え、これらの札のうち1,2,3,4,6,7,8,9に属する枚数を重みとして数える。

その枚数が1枚の集合は、4組から1組を選んでその一方を選び、さらに5と10を選ぶので $\displaystyle \binom41\cdot2=8$ 個であり、各集合から4枚目の選び方は1通りである。2枚の集合は、4組から2組を選び各組から一方ずつ選び、さらに5と10の一方を選ぶので $\displaystyle \binom42\cdot2^2\cdot2=48$ 個であり、各集合から4枚目の選び方は2通りである。3枚の集合は、4組から3組を選び各組から一方ずつ選ぶので $\displaystyle \binom43\cdot2^3=32$ 個であり、各集合から4枚目の選び方は3通りである。したがって、最初の3枚の順序も含めた有利な場合の数は $3!\{8\cdot1+48\cdot2+32\cdot3\}=1200$ 通りである。全順序列は $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ 通りだから、求める確率は $\displaystyle \frac{1200}{5040}=\frac{5}{21}$ である。