1獨協医科大学 2024年 1日目 数学 第1問解答・解説

正八面体の6頂点は、対頂点の組 $(P_1,P_6),(P_2,P_4),(P_3,P_5)$ に分かれる。辺は、異なる2頂点の組のうちこの3組を除いたものである。したがって、出目に現れた頂点の集合を $S$、その頂点数を $r$、$S$ に含まれる対頂点の組数を $q$ とすると、赤く塗られる辺の数は $$\displaystyle m=\binom{r}{2}-q$$ である。同じ頂点が複数回出ても赤い印の位置は変わらないため、各頂点集合について、その集合の頂点がすべて少なくとも1回現れる出目列を数える。

(1) 2回の出目の全列は $6^2=36$ 通りである。$m_2=1$ となるには、異なる隣接頂点が出ればよい。辺は $\displaystyle \binom{6}{2}-3=12$ 本あり、各辺の両端の出る順序は2通りなので、該当列は $12\cdot2=24$ 通りである。よって $$\displaystyle \Pr(m_2=1)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.$$

(2) 全列は $6^3=216$ 通りである。$m_3=3$ となるには、3頂点がすべて異なり、対頂点を含まないことが必要十分である。対頂点3組からそれぞれ1頂点ずつ選ぶので頂点集合は $2^3=8$ 通りあり、それぞれの集合を3回の出目に並べる方法は $3!=6$ 通りである。したがって $$\displaystyle \Pr(m_3=3)=\frac{8\cdot6}{216}=\frac{2}{9}.$$ $m_3=1$ なら出た頂点はちょうど2頂点で、その2頂点は隣接している。3頂点がすべて異なる場合は、対頂点の組を1組含むか含まないかにより $m_3=2$ または $3$ となるからである。辺の両端をともに少なくとも1回出す3回の列は、各辺につき $2^3-2=6$ 通りである。よって $$\displaystyle \Pr(m_3=1)=\frac{12\cdot6}{216}=\frac{1}{3}.$$

(3) 全列は $6^4=1296$ 通りである。$m_4=2$ となるには、出た頂点がちょうど3頂点で、その中に対頂点の組をちょうど1組含む必要がある。対頂点の組の選び方は3通り、その組以外の4頂点から残る1頂点を選ぶ方法は4通りなので、このような頂点集合は $3\cdot4=12$ 通りである。各集合の3頂点がすべて出る4回の列数は、包除原理により $$\displaystyle 3^4-\binom{3}{1}2^4+\binom{3}{2}1^4=36$$ 通りである。なお4頂点が出る場合には、含まれる対頂点の組は高々2組なので $m_4=6-q\ge4$、また2頂点以下では $m_4\le1$ である。したがって $$\displaystyle \Pr(m_4=2)=\frac{12\cdot36}{1296}=\frac{1}{3}.$$ $m_4=0$ となるには、出た頂点が1頂点、または対頂点の1組だけでなければならない。前者の列数は6通り、後者は対頂点の組が3通りあり、各組の両頂点が出る列数は $2^4-2=14$ 通りである。よって $$\displaystyle \Pr(m_4=0)=\frac{6+3\cdot14}{1296}=\frac{48}{1296}=\frac{1}{27}.$$

(4) 辺 $P_1P_2$ が赤く塗られる事象は、4回の中に $P_1,P_2$ の両方が出る事象である。その列数は包除原理により $$6^4-2\cdot5^4+4^4=302$$ 通りである。この条件のもとで $m_4=3$ となるには、出た頂点がちょうど3頂点で、対頂点の組を含まない必要がある。4頂点が出ると $m_4=6-q\ge4$、2頂点だけなら $m_4=1$ だからである。$P_1,P_2$ の両方に隣接する残りの頂点は $P_3,P_5$ である。よって好都合な頂点集合は $\{P_1,P_2,P_3\}$、$\{P_1,P_2,P_5\}$ の2通りであり、各集合の3頂点すべてが出る列は36通りである。求める条件付き確率は $$\displaystyle \frac{2\cdot36}{302}=\frac{36}{151}.$$