4宮崎大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle I(x)=\int_0^x e^{t-x}f(t)\,dt$ とおくと、積分の微分より $I'(x)=f(x)-I(x)$。また元の式から $3I=f-g$ だから $$f'=g'+3(f-I)=g'+3f-(f-g)=2f+g+g'.$$ (1) $f'=2f+h$ と比較して $h=g+g'$。 (2) $$\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{-2x}f)=e^{-2x}(f'-2f)=e^{-2x}(g+g').$$ (3) 左辺が定数ならこの導関数は0であり、$g+g'=0$。従って $(e^xg)'=0$ で、$g(0)=1$ より $g=e^{-x}$。さらに元の積分方程式で $f(0)=g(0)=1$。定数 $e^{-2x}f$ は1なので $f=e^{2x}$。実際この組は元の式を満たす。 (4) $g=x^2+1$ では $$(e^{-2x}f)'=e^{-2x}(x^2+2x+1),\quad f(0)=1.$$ 右辺の積分は $$\displaystyle \int_0^x e^{-2t}(t^2+2t+1)\,dt =\frac54-e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{2}+\frac54\right).$$ よって $$\displaystyle f(x)=\frac94e^{2x}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}-\frac54.$$

積分項をI(x)と置くと、上端と指数の微分からI'=f−Iです。元の式を使って3I=f−gと置き換えると、f'=2f+g+g'が得られます。この式から(1)(2)が直ちに分かります。(3)は$e^{-2x}f$の導関数が0であることからg'+g=0を導き、初期値g(0)=1とf(0)=1で定数を決めます。(4)も同じ導関数公式に$g=x^2+1$を代入し、初期値付きで積分します。