2金沢大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 偶関数なので、置換 $u=-t$ によって $$\displaystyle \int_{-1}^{0}f(t)\,dt =\int_0^1 f(-u)\,du =\int_0^1f(u)\,du.$$

(2) 積分を $-1\le t\le x$ と $x\le t\le1$ に分けると $$\displaystyle F(x)=-\int_{-1}^{x}(x-t)f(t)\,dt-\int_x^1(t-x)f(t)\,dt.$$ 微分すると、積分端で生じる項はどちらも $|t-x|=0$ によって消え、 $$\displaystyle F'(x)=-\int_{-1}^{x}f(t)\,dt+\int_x^1f(t)\,dt.$$ さらに微分して $$F''(x)=-f(x)-f(x)=-2f(x).$$

(3) 仮定から $f=F$ だから、(2)より $f''=-2f$ である。したがって $$g(x)=f(x)-f(0)\cos(\sqrt2 x)$$ は $g''=-2g$ を満たす。また $g(0)=0$。(2)の式から $f$ は微分可能であり、偶関数であるから $f'(0)=0$。よって $g'(0)=0$ でもある。 $$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac12\{g'(x)\}^2+g(x)^2\right)' &=g'(x)g''(x)+2g(x)g'(x)\\ &=g'(x)(-2g(x))+2g(x)g'(x)=0. \end{aligned}$$ この量は一定で、$x=0$ での値は $0$ である。したがって$-1\le x\le1$ を満たすすべての $x$ で $$\displaystyle \frac12\{g'(x)\}^2+g(x)^2=0.$$ 左辺は平方の和なので $g(x)=0$。ゆえに $$\boxed{f(x)=f(0)\cos(\sqrt2 x)}.$$

(1) は偶関数の定義と置換で示す。(2) は絶対値の中身の符号が変わる $x$ で積分を分けて微分する。(3) の積分方程式は(2)から微分方程式 $f^{\prime\prime}=-2f$ を与える。$\cos(\sqrt2x)$ も同じ微分方程式を満たすので差 $g$ を考えると、指定のエネルギーは一定で初期値が $0$ になる。平方和が $0$ であることから $g$ は恒等的に $0$ となる。