4金沢大学 2009年 数学 第4問解答・解説

各試行を $A$ の得点、$B$ の得点、無得点の $3$ 種類に分類する。各確率はいずれも $1/3$ である。$A$ は1回の得点で $2$ 点または $3$ 点、$B$ は1回の得点で $2$ 点を得るため、どちらも得点事象が2回起きると勝つ。

$n=1$ では $B$ は勝てないので $p_1=0$。$n\ge2$ のとき、$B$ が初めて第 $n$ 回に勝つためには、先行する $n-1$ 回で $B$ の得点がちょうど1回、$A$ の得点が0回または1回であり、第 $n$ 回が $B$ の得点でなければならない。先行列で $A$ が得点しない場合の並べ方は $n-1$ 通り、$A$ がちょうど1回得点する場合の並べ方は $(n-1)(n-2)$ 通りである。したがって $$\displaystyle p_n=\frac{(n-1)+(n-1)(n-2)}{3^{n-1}}\cdot\frac13=\frac{(n-1)^2}{3^n}.$$ よって $p_1=0$, $\displaystyle p_2=\frac19$, $\displaystyle p_3=\frac4{27}$, $\displaystyle p_4=\frac19$。

この一般項を $q_n=9p_{n+2}-6p_{n+1}+p_n$ に代入すると $$\displaystyle q_n=\frac{(n+1)^2-2n^2+(n-1)^2}{3^n}=\frac2{3^n},\qquad \sum\limits _{n=1}^k q_n=2\sum\limits _{n=1}^k3^{-n}=1-3^{-k}.$$

$\displaystyle S_k=\frac12\left(1-\frac{k^2+k+1}{3^k}\right)$ とおくと、$S_1=0$ であり、$k\ge2$ では $$\displaystyle S_k-S_{k-1}=\frac{(k-1)^2}{3^k}=p_k.$$ したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^k p_n=\frac12\left(1-\frac{k^2+k+1}{3^k}\right),\qquad a=\sum\limits _{n=1}^{\infty}p_n=\frac12.$$ よって $$\displaystyle \frac1k\log\left|\sum\limits _{n=1}^k p_n-a\right|=\frac{\log(k^2+k+1)-\log2}{k}-\log3\longrightarrow-\log3.$$