3金沢大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 底角は鋭角であるから$t>0$である。$OB$の中点は$(0,r)$なので、二等辺三角形の高さは$rt$となり$$\boxed{A'=(-rt,r)}\text{。}$$ 相似性から$OA$に対する高さは$t$であり、第4象限の条件から$$\boxed{B'=(1,-t)}\text{。}$$ (2) 各2点を通る直線を作ると $$\boxed{AA':\ rx+(rt+2)y=2r,\qquad BB':\ (2r+t)x+y=2r}.$$ (3) 両式を引くと$-(r+t)x_0+(rt+1)y_0=0$となる。 $D=(rt+2)(2r+t)-r>0$とおくと連立方程式から $$\displaystyle x_0=\frac{2r(rt+1)}D>0,\qquad y_0=\frac{2r(r+t)}D>0$$ なので割り算ができ、$$\boxed{y_0/x_0=(r+t)/(rt+1)}\text{。}$$ (4) $AB$の中点は$(1,r)$である。　 底辺の半分の長さは$\sqrt{1+r^2}$であり、相似性から高さは$t\sqrt{1+r^2}$である。　 $AB$に垂直で$O$と反対側を向くベクトルは$(r,1)$なので $$\boxed{O'=(1+rt,r+t)}.$$ 直線$OO'$の方程式は$\displaystyle y=\frac{r+t}{1+rt}x$。これは(3)の$M$を通る。従って3直線はただ1つの点$M$で交わる。