9弘前大学 2009年 数学 第9問解答・解説

点Pの座標を $(p,0)$、点Qの座標を $(q,1)$ とおくと、 $0\le p\le4,\ 1\le q\le6$ である。四角形の重なり部分は、共通点 $P,Q$ と、 直線 $AQ$ と $CP$ の交点 $L$、直線 $BQ$ と $DP$ の交点 $R$ を頂点とする。 $L,R$ の $y$ 座標をそれぞれ $a,b$ とすると、 $$qa=p+(1-p)a,\qquad 4+(q-4)b=p+(6-p)b$$ より $$\displaystyle a=\frac{p}{p+q-1},\qquad b=\frac{4-p}{10-p-q}.$$ 分母が $0$ となる端点では、対応する辺が重なり、その三角形の面積を $0$ とする。

対角線 $PQ$ で四角形を三角形 $PQL$ と $PQR$ に分ける。座標を用いた三角形の面積から $$2[PQL]=a(q-1),\qquad 2[PQR]=b(6-q)$$ なので、重なり部分の面積 $S$ は $$\displaystyle 2S=a(q-1)+b(6-q) =\frac{p(q-1)}{p+q-1} +\frac{(4-p)(6-q)}{10-p-q}.$$ ここで $u=q-1$ とおくと $0\le u\le5$ であり、 $$\displaystyle 2S=\frac{pu}{p+u} +\frac{(4-p)(5-u)}{(4-p)+(5-u)}.$$

任意の $x,y\ge0$ について $$(25x+16y)(x+y)-81xy=(5x-4y)^2\ge0$$ だから $$\displaystyle \frac{xy}{x+y}\le\frac{25x+16y}{81}.$$ これを $(x,y)=(p,u)$ と $(x,y)=(4-p,5-u)$ に適用すると、 $$\displaystyle 2S\le \frac{25p+16u+25(4-p)+16(5-u)}{81} =\frac{20}{9}.$$ したがって $\displaystyle S\le\frac{10}{9}$ である。

$\displaystyle p=2,\ u=\frac52$（すなわち $\displaystyle q=\frac72$）とすれば、上の二つの平方はともに $0$ となり等号が成り立つ。よって最大値は $\displaystyle \boxed{\frac{10}{9}}$ である。

PとQをそれぞれのx座標で表す。斜めの辺どうしの二つの交点を求め、共通部分の四角形を二つの三角形に分ける。面積の各項に平方の恒等式から得た不等式を使い、二つの等号条件が許された範囲で同時に成り立つことを確かめる。