4弘前大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) 関数 $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x^2}$ の定義域は $x\ne 0$ である。 $$\displaystyle f'(x)=1+\left(\frac{1}{x^2}\right)' =1+\frac{0\cdot x^2-1\cdot 2x}{x^4} =1-\frac{2}{x^3} =\frac{x^3-2}{x^3}.$$ $\alpha=\sqrt[3]{2}$ とすると、$f'(x)$ の符号は $$\begin{array}{c|ccc} x\text{ の範囲}&x<0&0<x<\alpha&x>\alpha\\ \hline f'(x)&+&-&+\\ f(x)&\nearrow&\searrow&\nearrow \end{array}$$ となる。したがって $x=\alpha$ で極小となり、 $$\displaystyle f(\alpha)=\alpha+\frac{1}{\alpha^2} =\alpha+\frac{\alpha}{2} =\frac{3\alpha}{2}.$$ また、 $$\displaystyle f''(x)=\frac{6}{x^4}>0\quad (x\ne 0),\qquad f(x)-x=\frac{1}{x^2}>0.$$ $$\displaystyle \lim\limits _{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits _{x\to 0^+}f(x)=+\infty,\qquad \lim\limits _{x\to\pm\infty}\{f(x)-x\}=0.$$ さらに $f(x)=0$ に $x^2$ を掛けて整理した同値な方程式は $x^3=-1$ であり、その解は $x=-1$ である。負の枝は $x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$ から、点 $(-1,0)$ を通り、$x\to0^-$ で $+\infty$ へ増加する。正の枝は $x\to0^+$ で $+\infty$ から極小点を経て増加する。両枝とも下に凸で、$\lvert x\rvert\to\infty$ では $y=x$ に上側から近づく。したがって、この特徴をもつ概形を描けばよい。

(2) $x=\sqrt{3}\tan\theta$ と置換する。$0\le x\le1$ より $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{6}$ であり、 $$dx=\sqrt{3}\sec^2\theta\,d\theta,\qquad 3+x^2=3\sec^2\theta.$$ $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1\frac{dx}{(3+x^2)^2} &=\frac{\sqrt{3}}{9}\int_0^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{\sqrt{3}}{9}\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/6}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{9}\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}\right) =\frac{1}{24}+\frac{\pi}{36\sqrt{3}}. \end{aligned}$$ よって、求める値は $\displaystyle \boxed{\frac{1}{24}+\frac{\pi}{36\sqrt{3}}}$ である。