10千葉大学 2009年 数学 第10問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x=\tan^3\theta\text{ とおくと }\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi3,\ dx=3\tan^2\theta\sec^2\theta\,d\theta,\quad \sqrt[3]{x^2}=\tan^2\theta.\text{よって}\int_1^{3\sqrt3}\left(\frac1{\sqrt[3]{x^2}}-\frac1{1+\sqrt[3]{x^2}}\right)dx=\int_{\pi/4}^{\pi/3}3(\sec^2\theta-\tan^2\theta)\,d\theta=3\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\frac\pi4.\text{(2) }R(t)=\int_1^t\frac{dx}{x^{2/3}(1+x^{2/3})}\text{ とおく。}\text{ }\frac1{1+x^{2/3}}=x^{-2/3}-\frac1{x^{2/3}(1+x^{2/3})}\text{ だから}g(t)=3(t^{1/3}-1)-R(t).\text{また }x\ge1\text{ では }0\le\frac1{x^{2/3}(1+x^{2/3})}\le x^{-4/3}\text{ より}0\le R(t)\le\int_1^t x^{-4/3}\,dx=3(1-t^{-1/3})<3.\text{ }R(t)\text{ は増加かつ有界なので極限をもち、 }g(t)-3t^{1/3}=-3-R(t)\text{ は収束する。}\text{さらに }\frac{g(t)}{t^{1/3}}=3-\frac{3+R(t)}{t^{1/3}}\longrightarrow3.\text{もし }g(t)-at^b\text{ が収束すれば }g(t)/t^b\to a>0\text{ である。}\text{上の極限から }b<\frac13\text{ なら }g(t)/t^b\to\infty,\ b>\frac13\text{ なら }g(t)/t^b\to0\text{ となるため、}b=\frac13\text{ かつ }a=3\text{ である。}$$