(1) p≧5 を素数とし、p=6q+r (q≧0, 0≦r≦5) とおく。p は 2,3 のいずれでも割り切れないので、r は 0,2,3,4 ではない。したがって r=1 または 5 である。r=1 なら p=6q+1 であり、p≧5 より q≧1 だから n=q とすればよい。r=5 なら p=6q+5=6(q+1)−1 であり、n=q+1≧1 とすればよい。よって所望の形で表される。(2) N≧1 とし、m=6N−1 とおくと、m≧5, m≡5(mod6) である。m を素因数分解して m=p1p2⋯pk とする（重複度を含む）。m≡0(mod2), m≡0(mod3) だから、各 pi≧5 である。(1) より各 pi≡1 または −1(mod6) である。もしすべての pi≡1(mod6) なら m≡1(mod6) となるが、これは m≡5(mod6) に反する。したがってある pj≡−1(mod6) があり、pj=6n−1 (n は自然数) である。この pj は m=6N−1 の素数約数である。(3) 5=6⋅1−1 は素数なので、この形の素数は少なくとも一つ存在する。この形の素数が有限個であると仮定し、それらを q1,…,qr (r≧1) とする。N=q1q2⋯qr とおく。(2) より 6N−1 は、ある素数 q≡−1(mod6) を約数にもつ。一方、各 i について qi∣N だから 6N−1≡−1(modqi) であり、qi∤6N−1 である。したがって q は q1,…,qr のいずれとも異なり、仮定した有限個の全列挙に反する。よって 6n−1 の形の素数は無限に多く存在する。
