8千葉大学 2009年 数学 第8問解答・解説

全ての選び方は同様に確からしく、$\displaystyle \binom94=126$ 通りである。

(1) 積が5の倍数になるのは5のカードを含む場合に限る。他の3枚は残り8枚から選べるので、確率は $$\displaystyle \frac{\binom83}{126}=\frac{56}{126}=\frac49.$$

(2) 積が12の倍数になるには、素因数2を二つ以上、3を一つ以上含めばよい。6の有無と3,9の枚数で重複なく分ける。

6を含む場合、残り3枚に2,4,8の少なくとも一つが必要だから、$\displaystyle \binom83-\binom53=46$ 通り。

6を含まず、3,9の一方だけを含む場合、残り3枚は $\{1,2,4,5,7,8\}$ から選ぶ。この中で素因数2を二つ以上得るには4または8を含むことが必要十分だから、$\displaystyle 2\{\binom63-\binom43\}=32$ 通り。

6を含まず3,9を両方含む場合も、残り2枚に4または8が必要なので、$\displaystyle \binom62-\binom42=9$ 通り。

従って求める確率は $$\displaystyle \frac{46+32+9}{126}=\frac{29}{42}.$$

(3) 平方数となるには、各素因数の指数が偶数になることが必要十分である。5と7は他のカードで同じ素因数を補えないので選べない。

6を含むとき、3の指数を偶数にするには3を含む。2の指数を偶数にするには2,8のどちらか一方を含め、残る1枚は平方数1,4,9のいずれかである。よって $2\cdot3=6$ 通り。

6を含まないとき、3も選べない。1,4,9だけでは4枚に足りず、2と8を両方選び、1,4,9から2枚選ぶ必要がある。よって $\displaystyle \binom32=3$ 通り。

従って確率は $$\displaystyle \frac{6+3}{126}=\frac1{14}.$$