5千葉大学 2009年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \begin{gathered} \text{線分 }AB\text{ 上の点を }P=(3(1-t),2t)\quad(0<t\le1)\text{ と表す。}\\ H=(3(1-t),0),\qquad M=\left(3-\frac32t,0\right),\quad OP^2=9(1-t)^2+4t^2=9-18t+13t^2,\\ OM=3-\frac32t>0.\\ \text{三角形 }OPM\text{ 内の点 }Q\text{ は }\\Q=\lambda P+\mu M\ (\lambda,\mu\ge0,\ \lambda+\mu\le1)\text{ と書けるので、}\\ OQ\le\lambda OP+\mu OM\le\max(OP,OM).\\ \text{原点から最も遠い頂点への線分は三角形内にある。}\\\text{これを回転すると、その半径までの円盤全体を覆う。}\\ \text{よって掃引領域は半径 }R(t)=\max(OP,OM)\text{ の円盤である。}\\ OP^2-OM^2=(9-18t+13t^2)-\left(3-\frac32t\right)^2=t\left(\frac{43}{4}t-9\right).\\ \text{したがって }0<t<\frac{36}{43}\text{ では }R=OM\text{ で、これは減少する。}\\ \text{また }t>\frac{36}{43}\text{ では }R=OP\text{ となり、 }\frac{d}{dt}(OP^2)=26t-18>0\text{ だから増加する。}\\ \text{ゆえに最小は }t=\frac{36}{43}\text{ で達成される。}\\ P=\left(3\left(1-\frac{36}{43}\right),2\frac{36}{43}\right)=\left(\frac{21}{43},\frac{72}{43}\right).\\ OP=OM=3-\frac32\frac{36}{43}=\frac{75}{43},\quad \text{したがって最小面積は }\pi\left(\frac{75}{43}\right)^2=\frac{5625\pi}{1849}. \end{gathered}$$