12千葉大学 2009年 数学 第12問解答・解説

$c=2-a^2$とおくと$f(x)\ge0$は$x\ge c$と同値。(1)では$g<0$となる区間が$x\ge c$の範囲と交わらない条件を、根$a,0,a+2$の順序で分けて調べる。$a\ge0$または$-2<a<0$では$c\ge a+2$が必要十分で、$a=-2$は$g=x^2(x+2)$を別に確認、$a<-2$は負となる$a+2<x<0$の範囲が$x\ge c$の範囲に含まれる。結果は$a=-2$または$-1\le a\le0$。(2)では$x\ge0$のもとで$f\ge0$となる$x\ge c$は自動的に条件を満たす。$c\le0$なら全$x\ge0$で$f\ge0$。$c>0$なら不足する$0\le x<c$の範囲では$g\ge0$が必要。$-\sqrt2<a\le0$では小さい正の$x$で$f<0$かつ$g<0$となり不適。$a>0$では$g$が負となる$a<x<a+2$の範囲と$0\le x<c$の範囲が重ならない条件$c\le a$であり、これから$1\le a<\sqrt2$。$c\le0$の場合と合わせて$a\le-\sqrt2$または$a\ge1$。