3岐阜大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$f(x)=x|x-2a|$ を $0\le x\le1$ で考える。

$a\le0$ なら $f(x)=x(x-2a)$ であり、$f'(x)=2(x-a)\ge0$ だから、最大値は $x=1$ での $1-2a$。

$\displaystyle 0\le a\le\tfrac12$ なら、$0\le x\le2a$ では $$x(2a-x)=a^2-(x-a)^2$$ より最大値は $a^2$。一方、$2a\le x\le1$ では $x(x-2a)$ は上に凸で、端点値 $0$ と $1-2a$ を比べた最大値は $1-2a$。従って $\displaystyle M=\max(a^2,1-2a)$ であり、二つの値が等しいのは $a=\sqrt2-1$。

$\displaystyle \tfrac12\le a\le1$ なら $x\le2a$ が区間全体で成り立ち、$f(x)=a^2-(x-a)^2$ の最大値は $a^2$。$a\ge1$ なら同じ式で $f'(x)=2(a-x)\ge0$ だから、最大値は $x=1$ での $2a-1$。以上から $$M(a)=\begin{cases} 1-2a,&a\le\sqrt2-1,\\ a^2,&\sqrt2-1\le a\le1,\\ 2a-1,&a\ge1. \end{cases}$$ 最初の枝は $a=\sqrt2-1$ まで減少し、中央の枝はそこから増加する。最後の枝の値は少なくとも $1$ なので、最小値は $a=\sqrt2-1$ のときの $(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2$。

絶対値の切り替わり$x=2a$で分ける。$\displaystyle 0\leq a\leq\frac12$では頂点値$a^2$と右端値$1-2a$を比較し、それらが一致する$a=\sqrt2-1$で$M$の枝が切り替わる。$a\leq0$、$\displaystyle \frac12\leq a\leq1$、$a\geq1$の各範囲も二次関数の単調性または頂点から最大値を定める。結果の枝の単調性から大域最小値$3-2\sqrt2$を得る。