2岐阜大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 円錐の高さは$h=\sqrt{r^2-x^2}$、$0<x<r$であり、$V=\pi x^2\sqrt{r^2-x^2}/3$。 $y=x^2\ (0<y<r^2)$とおくと $$\displaystyle V^2=\frac{\pi^2}9y^2(r^2-y),\qquad\frac{d(V^2)}{dy}=\frac{\pi^2}9y(2r^2-3y).$$ 従って$y=2r^2/3$で増加から減少に変わるので $$\displaystyle x=r\sqrt{2/3},\qquad V_{\max}=\frac{2\pi r^3}{9\sqrt3}.$$ (2) 側面積は$\pi rx$だから$S=\pi x(r+x)$。従って $$\displaystyle Q=\frac{x(r-x)}{9\pi(r+x)^2}=\frac1{9\pi}\frac{t(1-t)}{(1+t)^2},\qquad t=x/r\ (0<t<1).$$ ここで $$\displaystyle \frac18-\frac{t(1-t)}{(1+t)^2}=\frac{(1-3t)^2}{8(1+t)^2}\ge0.$$ 等号は$t=1/3$で成立するので$\displaystyle Q_{\max}=1/(72\pi)$、そのとき$x=r/3$。