岐阜大学 2009年数学第4問解答・解説

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1問題

岐阜大学2009年度第4問

下図のように6つの点を線分で結んだ図形の点 A にコマを置き、次のルールで線分にそってコマを動かすことを考える。・1回の操作で隣接する点にコマを動かす。ただし、点 A および一度通った点へは動かせない。・各操作における移動先の点は、移動可能な点の中から等しい確率で選ぶものとする。・以上の操作を繰り返し、コマが点 B に達するか移動できる点がなくなったところで操作を終了する。以下の問に答えよ。（配点比率 20 %）

黒い6点を線分で結んだ三角形状の図で、上の段に1点、中段に2点、下段に3点がある。下段左端はA、右端はBで、外周では隣り合う点が結ばれ、中段の2点同士と、中段の各点から下段中央の点へも線分が引かれている。

(1) コマが点 B に達する確率を求めよ。

(2) 操作が終了するまでの移動回数の期待値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) Bに達する確率 $\displaystyle \frac34$ . (2) 停止までの移動回数の期待値 $\displaystyle \frac{43}{12}$ 回.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

始点Aから訪問済み点へ戻らない経路を列挙し、各移動の確率（候補隣接点数の逆数）を掛ける。Bへ達する終端経路の確率和は $\displaystyle \frac16+\frac7{36}+\frac29+\frac16=\frac34$ 。停止回数の分布は $\displaystyle \mathbb{P}(N=2)=\frac16,\quad\mathbb{P}(N=3)=\frac14,\quad\mathbb{P}(N=4)=\frac5{12},\quad\mathbb{P}(N=5)=\frac16$ 。従って $\displaystyle \mathbb{E}[N]=\frac26+\frac34+\frac{20}{12}+\frac56=\frac{43}{12}$ 。

原文p.3の第4問の図・移動規則・(1)(2)を視認。各自己回避経路で各段階の未訪問隣接点数に応じた $1/k$ を掛けると、 $B$ 到達確率 $\displaystyle \frac34$ 。終端移動回数は $\displaystyle \mathbb{P}(N=2,3,4,5)=(\frac16,\frac14,\frac5{12},\frac16)$ 、よって $\displaystyle \mathbb{E}[N]=\frac{43}{12}$ 。独立経路列挙で旧A066の確率・期待値を照合。

この問題で使う考え方

経路の列挙
積の法則
確率分布と期待値

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