4神戸大学 2009年 数学 第4問解答・解説

大小のサイコロの結果 $(A,B)$ は $6\times6=36$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。

(1) 行を $A=1,2,\ldots,6$、列を $B=1,2,\ldots,6$ の順とする。規則に従って各値を入れると、次の表を得る。 $$\begin{gathered}X_3\\ \begin{array}{c|rrrrrr} A\backslash B&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&a+b&2&3&4&5&6\\ 2&1&2a+b&3&4&5&6\\ 3&3&3&3&3&3&3\\ 4&4&4&4&4&4&4\\ 5&5&5&5&5&5&5\\ 6&6&6&6&6&6&6 \end{array}\end{gathered} \qquad \begin{gathered}X_4\\ \begin{array}{c|rrrrrr} A\backslash B&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&a+b&2&3&4&5&6\\ 2&1&2a+b&3&4&5&6\\ 3&1&2&3a+b&4&5&6\\ 4&4&4&4&4&4&4\\ 5&5&5&5&5&5&5\\ 6&6&6&6&6&6&6 \end{array}\end{gathered}$$

(2) $X_4-X_3$ が0でない可能性があるのは $A=3$ の場合だけである。このとき、$B=1,2,3,4,5,6$ に対する差は順に $-2,-1,3a+b-3,1,2,3$ となる。36通りを等確率で平均すると $$\displaystyle E_4-E_3=\frac{-2-1+(3a+b-3)+1+2+3}{36}=\frac{3a+b}{36}.$$

(3) $n=1,2,\ldots,5$ とする。$A<n$ なら $X_n,X_{n+1}$ は同じ規則で定まり、$A\ge n+1$ ならどちらも $A$ である。したがって期待値の差に寄与するのは $A=n$ の場合だけである。この場合、$B\ne n$ なら差は $B-n$、$B=n$ なら差は $an+b-n$ だから $$\displaystyle 36(E_{n+1}-E_n)=\sum\limits _{B=1}^{6}(B-n)+(an+b-n) =21-6n+an+b-n =(a-7)n+b+21.$$ よって $E_1=E_2=\cdots=E_6$ となるには、この値が $n=1,2,\ldots,5$ のすべてで0でなければならない。特に $n=1,2$ の式を引くと $a=7$、これを代入して $b=-21$ を得る。この組ではすべての $n$ について差が0となるので、条件を満たす。さらに $a=7,b=-21$ のとき、固定した $A<n$ に対して $B$ 全体の得点合計は $$(1+2+3+4+5+6)-A+(7A-21)=6A$$ であり、$A\ge n$ の場合も合計は $6A$ である。したがって各 $n$ の期待値は $6(1+2+3+4+5+6)/36=7/2$ と一致する。結論は $a=7,\ b=-21$。