2神戸大学 2009年 数学 第2問解答・解説

（1）$f(-2)=-1,\ f(-1)=3,\ f(0)=1,\ f(1)=-1,\ f(2)=3$。多項式 $f$ は連続であるから、中間値の定理により $(-2,-1),(0,1),(1,2)$ の各区間に少なくとも1つずつ根がある。これらの区間は互いに交わらない。$f$ は3次式なので、因数定理より相異なる根は高々3個である。したがって各区間に根はちょうど1個ずつあり、これら以外に根はない。全ての根は $(-2,2)$ にあるので、絶対値は2より小さい。

（2）$f(\alpha)=0$ とすると $\alpha^3=3\alpha-1$ である。また、$\alpha^4=\alpha\alpha^3=3\alpha^2-\alpha$、$\alpha^6=(\alpha^3)^2=(3\alpha-1)^2=9\alpha^2-6\alpha+1$ だから、 $$\begin{aligned} f(g(\alpha))&=(\alpha^2-2)^3-3(\alpha^2-2)+1\\ &=\alpha^6-6\alpha^4+9\alpha^2-1\\ &=(9\alpha^2-6\alpha+1)-6(3\alpha^2-\alpha)+9\alpha^2-1=0. \end{aligned}$$ したがって $g(\alpha)$ も $f(x)=0$ の根である。

（3）$1<\sqrt3<2$ であり、$f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=1$。$f(-2)<0<f(-\sqrt3)$ だから、（1）で $(-2,-1)$ にただ1つある根 $\alpha_1$ は $-2<\alpha_1<-\sqrt3$ を満たす。よって $1<\alpha_1^2-2<2$。 （2）より $g(\alpha_1)$ は根であり、$(1,2)$ にある根は $\alpha_3$ だけなので、$g(\alpha_1)=\alpha_3$。

また、$0<\alpha_2<1$ より $-2<\alpha_2^2-2<-1$。$g(\alpha_2)$ は根であるから、$(-2,-1)$ にある唯一の根 $\alpha_1$ に等しく、$g(\alpha_2)=\alpha_1$。

さらに、$f(1)<0<f(\sqrt3)$ だから、$(1,2)$ にある唯一の根 $\alpha_3$ は $1<\alpha_3<\sqrt3$ を満たす。よって $-1<\alpha_3^2-2<1$。$g(\alpha_3)$ は根であり、$(-1,1)$ にある根は $\alpha_2$ だけなので、$g(\alpha_3)=\alpha_2$。以上より所定の関係を得る。