3神戸大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 0$\le$ x$\le$$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ において $\cos$(x-a)+$\cos$ x=2$\cos$$\displaystyle \frac a2$$\cos$$\displaystyle \left(x-\frac a2\right)$$\ge$0 である。したがって上側の曲線は y=$\cos$(x-a)、下側の曲線は y=-$\cos$ x である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/2}\{\cos(x-a)+\cos x\}\,dx\\ &=[\sin(x-a)+\sin x]_0^{\pi/2}\\ &=1+\sin a+\cos a. \end{aligned}$$

(2) 加法定理より $\sin$ a+$\cos$ a=$\sqrt2$$\sin$$\displaystyle \left(a+\frac{\pi}{4}\right)$$\le$$\sqrt2$. 等号は a+$\displaystyle \frac{\pi}{4}$=$\displaystyle \frac{\pi}{2}$、すなわち a=$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ のときに成り立ち、この値は指定範囲内にある。したがって S の最大値は 1+$\sqrt2$ である。

(3) y=$\cos$(x-a)$\ge$0、-$\cos$ x$\le$0 だから、各 x の縦線分は x 軸を含む。これを x 軸の周りに回転した断面は、半径が $\cos$(x-a) と $\cos$ x の大きい方を半径とする円板である。また $\cos$(x-a)-$\cos$ x=2$\sin$$\displaystyle \frac a2$$\sin$$\displaystyle \left(x-\frac a2\right)$ より、0$\le$ x$\le$$\displaystyle \frac a2$ では $\cos$ x$\ge$$\cos$(x-a)、$\displaystyle \frac a2$$\le$ x$\le$$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ では $\cos$(x-a)$\ge$$\cos$ x となる（a=0 の場合も積分式はそのまま成り立つ）。ゆえに $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left(\int_0^{a/2}\cos^2x\,dx+\int_{a/2}^{\pi/2}\cos^2(x-a)\,dx\right)\\ &=\pi\left(\frac a4+\frac{\sin a}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac a4+\frac{\sin2a+\sin a}{4}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{4}+\frac{\pi}{4}(2\sin a+\sin2a). \end{aligned}$$