5神戸大学 2009年 数学 第5問解答・解説

$t$ を実数として、数列 $a_1,a_2,\ldots$ を $$a_1=1,\qquad a_2=2t,\qquad a_{n+1}=2ta_n-a_{n-1}\quad(n\geq2)$$ で定める。このとき、以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $t\geq1$ ならば、$0<a_1<a_2<a_3<\cdots$ となることを示せ。

(2) $t\leq-1$ ならば、$0<|a_1|<|a_2|<|a_3|<\cdots$ となることを示せ。

(3) $-1<t<1$ ならば、$t=\cos\theta$ となる $\theta$ を用いて、 $$\displaystyle a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\quad(n\geq1)$$ となることを示せ。