2大阪大学 2009年 数学 第2問解答・解説

点を極座標で表すと、行列 $A$ は原点を中心とする $\pi/3$ の回転と $1/2$ 倍を続けて行う変換である。実際、加法定理から $\displaystyle A(r\cos\theta,r\sin\theta)=\frac r2(\cos(\theta+\pi/3),\sin(\theta+\pi/3))$ となる。また $\displaystyle P=(16\sqrt3,16)=32(\cos\frac{\pi}{6},\sin\frac{\pi}{6})$ であるから、帰納的に $\displaystyle P_n=\frac{32}{2^n}(\cos(\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}),\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}))$ を得る。　 $n$ を $6$ で割った余りが $1,2,3,4,5,0$ のとき、偏角はそれぞれ $\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$ を $2\pi$ を法としてとる。このうち $x<0, y<0$ を満たすのは余りが $3$ の場合だけである。したがって対象となるのは $n=6j+3$（$j=0,1,2,\ldots$）である。　 このとき $\displaystyle P_{6j+3}=\frac{32}{2^{6j+3}}(\cos\frac{7\pi}{6},\sin\frac{7\pi}{6})$ より $\sqrt3 x+y=-2^{3-6j}$ となる。よって残る条件は $-2^{3-6j}\le -2^{-k}$、すなわち $3-6j\ge -k$、つまり $\displaystyle 0\le j\le\frac{k+3}{6}$ である。$j$ は整数なので、その個数は $\displaystyle \left\lfloor\frac{k+3}{6}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{k+9}{6}\right\rfloor$ 個である。