大阪大学 2009年数学第5問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

大阪大学2009年度第5問

$n=1,2,3,\ldots$ に対して， $y=\log(nx)$ と $\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{n}\right)^{2}+y^{2}=1$ の交点のうち第1象限にある点を $(p_{n},q_{n})$ とする。

(1) 不等式 $\displaystyle 1-q_{n}^{2}\leq\dfrac{(e-1)^{2}}{n^{2}}$ を示すことにより， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}q_{n}=1$ を証明せよ。ただし， $e$ は自然対数の底である。

(2) $\displaystyle S_{n}=\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{p_{n}}\log(nx)\,dx$ を $p_{n}$ で表せ。

(3) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}nS_{n}$ を求めよ。　（配点率 $20\%$ ）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

交点条件から $(p_n-1/n)^2+q_n^2=1$ 。また $q_n=\log(np_n)>0$ なので $np_n=e^{q_n}>1$ 。よって $p_n>1/n$ 、 $0<q_n<1$ となり、 $\displaystyle 1-q_n^2=(p_n-1/n)^2=\left(\frac{e^{q_n}-1}{n}\right)^2<\frac{(e-1)^2}{n^2}.$ したがって $0\le1-q_n\le(e-1)^2/n^2$ から $q_n\to1$ 。

原始関数 $x\log(nx)-x$ により $S_n=p_n(\log(np_n)-1)+1/n$ 。さらに $np_n=e^{q_n}$ より $nS_n=e^{q_n}(q_n-1)+1\to1$ 。

**答え**：(1) 指定不等式と $q_n\to1$ 。(2) $S_n=p_n(\log(np_n)-1)+1/n$ 。(3) $1$ 。

この問題で使う考え方

円の方程式
指数対数の関係
はさみうち
原始関数による定積分
数列の極限

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。