3秋田大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(i) $x>0$ なので $t=\log x$ と置くと $x=e^t$ であり、方程式は $t^n=e^t$ となる。$t=0$ は解ではない。

まず $t>0$ では、両辺の対数を取って $$g(t)=n\log t-t=0$$ を考える。$g'(t)=n/t-1$ だから、$g$ は $0<t<n$ で増加し、$t>n$ で減少する。また $t\to0+$ で $g(t)\to-\infty$。問題文で許されている極限に $x=e^t$ を代入すると $t^n/e^t\to0$ なので、$t\to\infty$ でも $g(t)=\log(t^n/e^t)\to-\infty$ である。従って最大値 $g(n)=n(\log n-1)$ の符号で解の個数が決まる。$2<e<3$ より、$n=1,2$ では最大値は負で正の解はなく、$n\ge3$ では最大値は正で正の解がちょうど2個ある。

$t<0$ では奇数 $n$ の場合、$t^n<0<e^t$ なので解はない。偶数 $n$ の場合は $u=-t>0$ と置くと $u^n=e^{-u}$、すなわち $$h(u)=n\log u+u=0$$ となる。$h'(u)=n/u+1>0$、かつ $u\to0+$ で $h(u)\to-\infty$、$u\to\infty$ で $h(u)\to\infty$ だから、負の $t$ の解は偶数 $n$ ごとにちょうど1個である。以上より異なる3解をもつのは、正の解2個と負の解1個がある偶数 $n\ge4$ に限る。

(ii) $\displaystyle I_n=\int_1^e(\log x)^n\,dx$ とおく。$n\ge1$ で部分積分すると $$I_n=[x(\log x)^n]_1^e-nI_{n-1}=e-nI_{n-1}.$$ $a_n=I_n/n!$（また $a_0=I_0=e-1$）より $$\displaystyle a_n=\frac{e}{n!}-a_{n-1},\qquad a_n+a_{n-1}=\frac{e}{n!}.$$

(iii) この関係を反復すると $$\displaystyle (-1)^n a_n=e\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}+a_0,$$ したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}=\frac{(-1)^n a_n-a_0}{e}.$$ $1\le x\le e$ の範囲では $0\le\log x\le1$ なので $$\displaystyle 0\le a_n=\frac1{n!}\int_1^e(\log x)^n\,dx\le\frac{e-1}{n!}\longrightarrow0.$$ また $a_0=e-1$ だから、求める極限は $$\displaystyle -\frac{a_0}{e}=-\frac{e-1}{e}=\frac1e-1.$$