秋田大学 2010年数学第1問解答・解説

いろいろな式

このページには広告が含まれます。

1問題

秋田大学2010年度第1問

3次方程式 $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 7 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき，次の式の値を求めよ。

(i) $\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2$

(ii) $\alpha^2\beta^2 +\beta^2\gamma^2 +\gamma^2\alpha^2$

(iii) $\alpha^3 +\beta^3 +\gamma^3$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

解と係数の関係で基本対称式を求め、平方和・三乗和の恒等式に代入する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\space{}-2,\qquad$ (ii) $\space{}-19,\qquad$ (iii) 11

4解答

解答を見る途中式つきの解答

解と係数の関係より $s_1=\alpha+\beta+\gamma=2,\qquad s_2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3,\qquad s_3=\alpha\beta\gamma=7.$

(i) 恒等式 $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=s_1^2-2s_2$ から $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2^2-2\cdot3=-2.$

(ii) $u=\alpha\beta,\ v=\beta\gamma,\ w=\gamma\alpha$ とおくと $u+v+w=s_2=3,\qquad uv+vw+wu=\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=s_1s_3=14.$ したがって $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=u^2+v^2+w^2=(u+v+w)^2-2(uv+vw+wu)=3^2-2\cdot14=-19.$

(iii) 恒等式 $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=s_1^3-3s_1s_2+3s_3$ より $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2^3-3\cdot2\cdot3+3\cdot7=11.$

この問題で使う考え方

解と係数の関係

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。