9愛媛大学 2010年 数学 第9問解答・解説

判定 採用。 原文 PDF p.18 の問9と指定旧答 A062 を照合。集合 $A=B$ の証明、$A$ の指数表示、最大値・総和は正しい。原文の「自然数」は入試の通常の正整数として扱う。表示タグの差分はない。

数学確認 (1) $a\in A$ とし、異なる実根の差の絶対値を $d=|\alpha-\beta|$ とする。根の和は $a>0$、積は $2^n>0$ なので根はともに正。$d$ は正整数であり、 $$(a-d)(a+d)=a^2-d^2=4\cdot2^n=2^{n+2}.$$ 両因子は正で同じ偶奇、積は偶数なのでどちらも偶数。積が2の冪だから各因子も2の冪であり、根 $(a\pm d)/2$ は異なる整数。従って $a\in B$。

逆に $a\in B$ なら根の積 $2^n$ と和 $a$ が正なので2根は正整数。積が2の冪なので根は $2^u,2^v$（異なる非負整数 $u,v$）、$u+v=n$ と表せる。従って $a=2^u+2^v$ は異なる実根をもつ二次方程式の係数で、根の差も整数。ゆえに $a\in A$。従って $A=B$。

小さい方の指数を $u$ とすれば $$\displaystyle A=\left\{2^u+2^{n-u}\mid 0\le u\le\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\right\}.$$ (2)(i) は $n=1,2$ とも $u=0$ のみで、それぞれ $A=\{3\},\{5\}$。

(ii) $f(u)=2^u+2^{n-u}$ とすると、許される隣り合う指数の範囲 $u<\lfloor(n-1)/2\rfloor$ で $$f(u)-f(u+1)=2^{n-u-1}-2^u>0.$$ 従って最大は $u=0$ の $2^n+1$。

(iii) $n=2k+1$ なら和の指数は0から $n$ まで全て1度ずつで総和は $2^{n+1}-1$。$n=2k$ なら指数 $k$ だけが抜け、総和は $2^{n+1}-1-2^{n/2}$。

指定旧答 A062 と結論・論証は一致する。