7愛媛大学 2010年 数学 第7問解答・解説

$f$は$M=\begin{pmatrix}a&b\\6&-1\end{pmatrix}$による点の移動で、$\ell:y=2x-1$。

(1) $\ell$上の点$(x,2x-1)$の像は $$(x',y')=((a+2b)x-b,\ 4x+1).$$ これが全て$y'=2x'-1$を満たすため、$x$の係数と定数項を比較して $$4=2(a+2b),\qquad 1=-2b.$$ 従って$\boxed{a=4,\ b=-1}$。

(2) $P=(x,2x-1)$が固定点となる条件は$f(P)=P$。$a=4,b=-1$より$x'=2x+1$、$y'=4x+1$なので$x=2x+1$から$x=-1$、$y=-3$。よって$\boxed{P=(-1,-3)}$。

(3) $m$の方向ベクトルを$(u,v)\ne(0,0)$とする。$P$は固定点なので、$m$上の各点$P+s(u,v)$の像が同じ直線上にあるための必要十分条件は$M(u,v)$が$(u,v)$に平行となること。$M(u,v)=(4u-v,6u-v)$だから、比例定数を$\lambda$とすると $$4u-v=\lambda u,\qquad 6u-v=\lambda v.$$ $u=0$では第1式が$v=0$を強制し、方向ベクトルが零になるので不可。$k=v/u$と置けば$\lambda=4-k$であり、第2式から $$6-k=k(4-k),\qquad (k-2)(k-3)=0.$$ よって方向の傾きは$k=2$または$3$。傾き2の直線は$P$を通る$\ell$自身で条件③に反する。傾き3の直線は $$y+3=3(x+1),\quad\boxed{m:y=3x}.$$

高校範囲・論証： 行列と座標の成分積、直線上の点の媒介表示、係数比較、二次式の因数分解を使用した。固有値・対角化の定理は用いない。単元： 数学C「ベクトル・行列とその応用」（出題時範囲）、数学I「二次式」。方法： 直線像が同一直線に入る条件を係数比較し、固定点を求め、方向ベクトルの像が平行である条件を成分で解く。定理・公式： 行列の成分積、直線の媒介表示、成分の比例条件。テーマ： 平面上の線形変換で不変な直線。