4愛媛大学 2010年 数学 第4問解答・解説

カード自体は区別できるものとして数える。10枚を並べた結果は全て同様に確からしい。

(1) 左から4枚がすべて0となる確率は $$\displaystyle \frac4{10}\cdot\frac3{9}\cdot\frac2{8}\cdot\frac1{7}=\frac1{210}.$$

(2) 右端のカードは10枚のどれも同じ確率で選ばれる。書かれた数の合計は $$4+3+2\cdot2+1\cdot2+0\cdot4=13$$ なので、期待値は $13/10$。

(3) 左から3枚の順序付き結果は $10\cdot9\cdot8=720$ 通り。

(i) 得点4となるには、最初のカードが唯一の4で、続く2枚が4未満の異なる数でなければならない。残りの0,1,2,3のカード枚数はそれぞれ4,2,2,1枚。2つの異なる数の組ごとに順序を2通り考えると、有利な下2枚の並べ方は $$2(4\cdot2+4\cdot2+4\cdot1+2\cdot2+2\cdot1+2\cdot1)=56.$$ 従って確率は $$\displaystyle \frac{56}{720}=\frac7{90}.$$

(ii) 最初のカードの数を $a$ とする。$a=0,1$ では条件を満たせない。$a=2$ のとき、残りで使える異なる数は0,1で、下2枚の順序は $2(4\cdot2)=16$ 通り。$a=3$ のときは0,1,2から異なる2数を選び順序づけるため $$2(4\cdot2+4\cdot2+2\cdot2)=40$$ 通り。$a=4$ のときは (i) より56通り。よって得点の期待値は $$\displaystyle \frac{2\cdot2\cdot16+3\cdot1\cdot40+4\cdot1\cdot56}{720} =\frac{408}{720}=\frac{17}{30}.$$