九州大学 2010年数学第2問解答・解説

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1問題

九州大学2010年度第2問

次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし，出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ，もう1回サイコロを振って，2つの目の合計を得点とすることができる。ただし，合計が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって，2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。

(1) 競技者が常にサイコロを2回振るとすると，得点の期待値はいくらか。

(2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか。

(3) 得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに2回目を振るとよいか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac{35}{18}$ / (2) $\displaystyle \frac{53}{18}$ / (3) 最初の目が1または2のとき(すなわち最初の目が2以下のとき)に2回目を振るとよい

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 合計が $s=2,3,4,5,6$ となる目の組は順に $1,2,3,4,5$ 通り。合計7以上は0点だから期待値は $\displaystyle \frac{2\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot4+6\cdot5}{36}=\frac{35}{18}.$ (2) 1回目が6のとき、常に2回振る方式では必ず0点だが、止める方式では6点になる。他のときは変わらないので、期待値は $35/18+(1/6)6=53/18$ 。 (3) 1回目が $k$ のときに2回目を振る期待得点は、 $k=1,\ldots,6$ の順に $10/3,3,5/2,11/6,1,0$ 。これは得点になる2回目の目を足して6で割れば得られる。例えば $k=1$ では $(2+3+4+5+6)/6=10/3$ 。止めれば確実に $k$ 点なので、振る方が有利なのは $k=1,2$ だけである。各最初の目で期待値が大きい選択をすれば、全体の期待値も最大となる。

この問題で使う考え方

場合分け
条件ごとの期待値比較

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