4九州大学 2010年 数学 第4問解答・解説

以下，$a>0$（円の半径）とする。

(1)　 円が滑らずに角 $t$ だけ回転する間に，接点は $x$ 軸上を弧の長さぶんだけ進む。半径 $a$ の円が角 $t$ だけ回転すると弧長は $at$ だから，回転後の円の中心は $$C(t)=(at,\ a)$$ である。

点 $P$ は時刻 $t=0$ で原点 $(0,0)$ にあり，このとき中心 $C(0)=(0,a)$ から $P$ へ向かうベクトルは $$\overrightarrow{C(0)P(0)}=(0,-a)$$ であり，これは($x$ 軸正方向を基準に反時計回りに測った)偏角 $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$ の方向である。

円は $x$ 軸上を $x$ の正方向へ滑らずに転がるので，円自身は時計回りに回転する。よって角 $t$ だけ転がった時点で，中心から $P$ へ向かうベクトルの偏角は $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}-t$ となり， $$\displaystyle \overrightarrow{C(t)P(t)}=\bigl(a\cos(-\tfrac{\pi}{2}-t),\ a\sin(-\tfrac{\pi}{2}-t)\bigr)$$ 偶奇性と加法定理より $$\displaystyle \cos\!\left(-\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t,\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}-t\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\cos t$$ したがって $$\overrightarrow{C(t)P(t)}=(-a\sin t,\ -a\cos t).$$ したがって $$P(t)=C(t)+\overrightarrow{C(t)P(t)}=\bigl(at-a\sin t,\ a-a\cos t\bigr)$$ $$\boxed{P(t)=\bigl(a(t-\sin t),\ a(1-\cos t)\bigr)}$$ （検算）$t=0$ で $P=(0,0)$，$t=\pi$ で $P=(a\pi,2a)$（円の直径の高さでサイクロイドの頂点として妥当），$t=2\pi$ で $P=(2\pi a,0)$ となり，図形の直感と整合する。

(2)　 $x(t)=a(t-\sin t),\ y(t)=a(1-\cos t)$ とおく。 $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=a(1-\cos t)\ge 0\quad(0\le t\le 2\pi)$$ であり，等号は $t=0,2\pi$ のみで成り立つから，$x$ は $0\le t\le2\pi$ で単調増加。よって曲線 $C$ は $0\le x\le2\pi a$ の範囲で $y$ を $x$ の関数として与え，$C$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は $$\displaystyle S=\int_{0}^{2\pi a} y\,dx=\int_{0}^{2\pi} y(t)\,\frac{dx}{dt}\,dt=\int_{0}^{2\pi} a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)\,dt=a^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{2}\,dt.$$ 倍角公式 $\displaystyle \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$ より $$\displaystyle (1-\cos t)^{2}=1-2\cos t+\cos^{2}t=\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{1}{2}\cos 2t.$$ これを $0$ から $2\pi$ まで積分すると，$\cos t,\ \cos 2t$ はいずれも整数周期分ちょうど積分され $0$ になるから $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{1}{2}\cos 2t\right)dt=\frac{3}{2}\cdot 2\pi-0+0=3\pi.$$ よって $$\boxed{S=3\pi a^{2}}$$ （検算）サイクロイド1山の面積は生成円の面積 $\pi a^{2}$ の3倍になることが知られており，$3\pi a^{2}$ はこれと一致する。

(3)　 曲線の長さの公式より $$\displaystyle L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.$$ $\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t),\ \dfrac{dy}{dt}=a\sin t$ であるから $$\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=a^{2}(1-\cos t)^{2}+a^{2}\sin^{2}t=a^{2}\bigl(1-2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)=2a^{2}(1-\cos t).$$ 半角公式 $\displaystyle 1-\cos t=2\sin^{2}\dfrac{t}{2}$ を用いると $$\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=4a^{2}\sin^{2}\frac{t}{2}.$$ $0\le t\le 2\pi$ のとき $\displaystyle 0\le \dfrac{t}{2}\le \pi$ なので $\displaystyle \sin\dfrac{t}{2}\ge 0$，よって $$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=2a\sin\frac{t}{2}.$$ したがって $$\displaystyle L=\int_{0}^{2\pi}2a\sin\frac{t}{2}\,dt=2a\Bigl[-2\cos\frac{t}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi}=2a\bigl(-2\cos\pi+2\cos 0\bigr)=2a(2+2)=8a.$$ $$\boxed{L=8a}$$ （検算）サイクロイド1山の長さは生成円の半径 $a$ の8倍になることが知られており，$8a$ はこれと一致する。また次元的にも長さは $a$ に比例しており妥当である。

中心の移動と円の時計回り回転を合わせてサイクロイドを表す。面積は媒介変数で積分し、長さは速さを積分する。誤った三角関数展開の一文を除き、偶奇性と加法定理で座標成分を明示する。