2東邦大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 正弦の2倍角の公式は $$\sin2t=2\sin t\cos t$$ である。

(2) 2倍角の公式を使うと $$x=2r t-r\sin2t,\qquad y=r(1-\cos2t).$$ $\theta=2t$ とおけば $0\le\theta\le2\pi$ で $$x=r(\theta-\sin\theta),\qquad y=r(1-\cos\theta),$$ となり、曲線はサイクロイドの1弧である。さらに $$x'(t)=4r\sin^2t\ge0,$$ であり、$0<t<\pi$ では正なので、$x$ は始点から終点まで増加する。$t=0,\pi/2,\pi$ における点はそれぞれ $$(0,0),\qquad(\pi r,2r),\qquad(2\pi r,0)$$ である。また $x(\pi-t)=2\pi r-x(t)$、$y(\pi-t)=y(t)$ なので、弧は直線 $x=\pi r$ に関して対称である。したがって原点から出て最高点 $(\pi r,2r)$ を通り、終点 $(2\pi r,0)$ に至る一山の曲線として描ける。

（図は $r>0$ として正規化座標 $(x/r,y/r)$ で描いた。実際の座標は各軸の目盛りを $r$ 倍する。）

(3) 座標を微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=4r\sin^2t,\qquad \frac{dy}{dt}=2r\sin2t,$$ さらに $$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=4r\sin2t,\qquad \frac{d^2y}{dt^2}=4r\cos2t.$$ よって加速度の大きさは $$\sqrt{\left(4r\sin2t\right)^2+\left(4r\cos2t\right)^2}=4r.$$

(4) $0\le t\le\pi$ では $\sin t\ge0$ だから、速さは $$\begin{aligned} \sqrt{\left(4r\sin^2t\right)^2+\left(2r\sin2t\right)^2} &=4r\sqrt{\sin^4t+\sin^2t\cos^2t}\\ &=4r\sin t. \end{aligned}$$ したがって道のりは $$\displaystyle S=\int_0^\pi4r\sin t\,dt=8r.$$

(5) 曲線と $x$ 軸で囲まれた部分を回転させた体積は円板法で $$\displaystyle V=\pi\int y^2\,dx=\pi\int_0^\pi (2r\sin^2t)^2(4r\sin^2t)\,dt =16\pi r^3\int_0^\pi\sin^6t\,dt.$$ $$\displaystyle \sin^6t=\frac{10-15\cos2t+6\cos4t-\cos6t}{32}$$ であり、余弦の各項は $0\le t\le\pi$ の範囲で積分すると0になるため、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^6t\,dt=10\pi/32=5\pi/16$。従って $$\displaystyle V=16\pi r^3\cdot\frac{5\pi}{16}=5\pi^2r^3.$$ 検算として、道のりは半径 $r$ のサイクロイド1弧の長さとして $8r$ となり、体積積分の被積分関数は区間内で非負である。