5千葉大学 2000年 数学 第5問解答・解説

P=(p,0), Q=(0,q) とおくと、長さ $PQ=1$ より $p^2+q^2=1$。直角三角形 $OQP$ で $PQ=1$、$\angle OQP=\theta$ だから $$p=OP=\sin\theta,\qquad q=OQ=\cos\theta.$$ 棒の長さは1で、$AP=1-p$。したがって、棒上の点 $R$ は $P$ から $Q$ へ距離 $1-p$ だけ進んだ点であり $$R=P+(1-p)(Q-P).$$ これより $$\boxed{R=(p^2,q(1-p))=(\sin^2\theta,\ (1-\sin\theta)\cos\theta)}.$$ 運動の内部では $0<\theta<\pi/2$ であり、端点は極限として含める。

(2) $x=\sin^2\theta$ は $0\le\theta\le\pi/2$ で0から1まで増加し、曲線は第1象限で軸と囲む領域の上端となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/2} y(\theta)\frac{dx}{d\theta}\,d\theta\\ &=2\int_0^{\pi/2}\sin\theta(1-\sin\theta)\cos^2\theta\,d\theta\\ &=2\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta -2\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\frac23-\frac\pi8. \end{aligned}$$ 従って求める面積は $\displaystyle \boxed{\frac23-\frac\pi8}$。