3東京慈恵会医科大学 2013年 数学 第3問解答・解説

東京慈恵会医科大学 2013年度 数学 Q3

$0\le\theta\le\pi$ に対し $P_\theta=(\cos\theta,\sin\theta,0)$, $Q_\theta=(2\cos\theta,2\sin\theta,0)$ とする。底面 $D$ は、極座標で $1\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi$ の半円環である。立体 $K$ はその底面上で高さ $2\theta/\pi$ をもつので、 $$K=\{(r\cos\theta,r\sin\theta,z):1\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le z\le 2\theta/\pi\}.$$

(1) 半球 $B$ の水平断面

$B$ は $x^2+y^2+z^2\le4,\ z\ge0$ である。平面 $z=t$ との交わりは $$x^2+y^2\le4-t^2$$ を満たす円板であり、その円の半径は $$\boxed{\sqrt{4-t^2}}\qquad(0\le t<2).$$

(2) 共通部分 $L=B\cap K$ の体積

高さ $z=t$ の水平断面を考える。$K$ に入るには $2\theta/\pi\ge t$、すなわち $\theta\ge\pi t/2$ が必要である。また $B$ の条件から $r\le\sqrt{4-t^2}$ である。底面では $r\ge1$ なので、断面が空でないのは $$0\le t\le\sqrt3$$ の範囲である。このとき、断面は角度 $\pi t/2$ から $\pi$ までの扇形から内側の半径1の扇形を除いた扇形環となる。その中心角は $\pi(1-t/2)$、外半径の2乗から内半径の2乗を引いた値は $3-t^2$ だから、断面積 $S(t)$ は $$\displaystyle S(t)=\frac12\{\pi(1-t/2)\}(3-t^2).$$ よって断面積を高さについて積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\int_0^{\sqrt3}S(t)\,dt\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^{\sqrt3}(3-t^2)(1-t/2)\,dt\\ &=\frac{\pi}{2}\left[3t-\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{4}+\frac{t^4}{8}\right]_0^{\sqrt3}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(2\sqrt3-\frac98\right) =\boxed{\pi\left(\sqrt3-\frac9{16}\right)}. \end{aligned}$$

**使用解法:** 球の水平断面、底面の高さ条件による断面の角度範囲、扇形環の面積、断面積の積分。

**issues:** なし。