2東京慈恵会医科大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$xy$ 平面上に2曲線 $$C_{1}: y=2x\sqrt{1-x^{2}},\qquad C_{2}: y=\sqrt{1-x^{2}}$$ がある。$C_{1},C_{2}$ 上に2点 $P_{1}(t,2t\sqrt{1-t^{2}}),\ P_{2}(t,\sqrt{1-t^{2}})\quad(-1<t<1)$ をとり、$P_{1}$ における $C_{1}$ の接線 $\ell_{t}$ と、$P_{2}$ における $C_{2}$ の接線 $m_{t}$ について考える。このとき、次の問いに答えよ。 　 (1) $C_{1}$ および $C_{2}$ の概形を同じ $xy$ 平面上に描け（$xy$ 平面は解答用紙にある）。ただし、曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい。また、$P_{1}$ と $P_{2}$ が一致するときの $t$ の値を求めよ。 　 (2) 2直線 $\ell_{t}$ と $m_{t}$ が平行になるときの $t$ がみたすべき条件を、$t$ についての2次方程式で表し、その解 $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ を求めよ。 　 (3) $\ell_{t}$ と $m_{t}$ が交点をもつとき、その交点の $y$ 座標を $y_{t}$ とする。 　 (i) $y_{t}$ を $t$ を用いて表せ。 　 (ii) $y_{t}>0$ となる $t$ の値の範囲を(2)で求めた $\alpha,\beta$ を用いて表し、この範囲における $y_{t}$ の最小値を求めよ。