1東京慈恵会医科大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) サイコロ2個の積が奇数となるのは両方が奇数のときだけなので、積が偶数で+2進む確率は $3/4$、奇数で+1進む確率は $1/4$。

(i) $x_1=2$ となるのは最初に+2進む場合で、確率は $3/4$。

(ii) 3回後に $x_3=3$ となるには、3回とも+1でなければならない。その後 $x_4=5$ となるには4回目が+2である。独立なサイコロ試行より確率は $(1/4)^3(3/4)=3/256$。

(iii) 現在位置が $i$ で、初めて4以上に達するまでの残り試行数の期待値を $E_i$ とする。境界では $E_3=1$。各状態からの遷移により $$\displaystyle \begin{aligned} E_2&=1+\frac14 E_3=\frac54,\\ E_1&=1+\frac14 E_2+\frac34 E_3=\frac{33}{16},\\ E_0&=1+\frac14 E_1+\frac34 E_2=\frac{157}{64}. \end{aligned}$$

(2) $\mathbf a=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf b=\overrightarrow{OB}$ とする。条件の平方を用いると $$|2\mathbf a+\mathbf b|^2-|\mathbf a+\mathbf b|^2=3+2\mathbf a\cdot\mathbf b=0,$$ 従って $\mathbf a\cdot\mathbf b=-3/2$。また $|\mathbf a+\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2$ より $2\mathbf a\cdot\mathbf b+|\mathbf b|^2=0$、従って $|\mathbf b|=\sqrt3$。

点 $P=s\mathbf a+t\mathbf b$ の係数領域は $s,t\ge0$、$1\le s+3t\le3$。これは頂点 $(0,0),(3,0),(0,1)$ の三角形から、頂点 $(0,0),(1,0),(0,1/3)$ の三角形を除いた領域で、その面積は $$\displaystyle \frac32-\frac16=\frac43.$$ 写像 $(s,t)\mapsto s\mathbf a+t\mathbf b$ の面積倍率は $$\displaystyle |\mathbf a\times\mathbf b|=\sqrt{|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ 従って求める面積は $(4/3)(\sqrt3/2)=2\sqrt3/3$。