4東京慈恵会医科大学 2013年 数学 第4問解答・解説

東京慈恵会医科大学 2013年度 数学 Q4

行列 $A=\begin{pmatrix}a&-1\\0&d\end{pmatrix}$ は $\det A=ad\ne0$ を満たす。直線 $\ell$ の方向ベクトルを $(x,y)\ne(0,0)$ とすると、その像の方向ベクトルは $$\displaystyle A\binom{x}{y}=\binom{ax-y}{dy}.$$ 行列式が0でないため像は零ベクトルでなく、像の直線が $\ell$ に垂直である条件は内積が0となることである。

(1) $a,d$ の関係

垂直条件を成分で書くと $$(x,y)\cdot(ax-y,dy)=ax^2-xy+dy^2=0.$$ 垂直な像をもつ方向で $x=0$ とすると左辺は $dy^2\ne0$ となるため、該当する方向は $x\ne0$ である。そこで傾き $t=y/x$ を用いると、条件は $$dt^2-t+a=0.$$ $d\ne0$ なのでこれは二次方程式であり、直線の方向はその実数解 $t$ と一対一に対応する。条件を満たす直線がただ1つ存在するための必要十分条件は、重解をもつこと、すなわち判別式が0となることである。 $$1-4ad=0.$$ よって $$\displaystyle \boxed{ad=\frac14}.$$ このとき唯一の傾きは $t=1/(2d)$ である。

(2) $d>0$ のとき

(1)より $a=1/(4d)$。唯一の直線 $\ell$ の傾きは $t=1/(2d)$ である。$h=\sqrt{1+t^2}$ とおくと、$\ell$ 上で $x>0$、原点からの距離が1となる点は $$\displaystyle P=\left(\frac1h,\frac{t}{h}\right).$$ その像 $Q=A(P)$ は、$t=1/(2d)$ を代入して $$\displaystyle Q=\left(\frac{a-t}{h},\frac{dt}{h}\right) =\left(-\frac{1}{4dh},\frac{1}{2h}\right).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} OQ^2 &=\frac{1/(16d^2)+1/4}{1+t^2}\\ &=\frac{(4d^2+1)/(16d^2)}{(4d^2+1)/(4d^2)} =\frac14, \end{aligned} \qquad\boxed{OQ=\frac12}.$$

直線 $PQ$ が $y$ 軸と交わる点を $R=(0,y_R)$ とする。$P=(x_P,y_P),Q=(x_Q,y_Q)$ とすれば、直線上の点を結ぶ式から $$\displaystyle y_R=\frac{x_Py_Q-x_Qy_P}{x_P-x_Q}.$$ ここで $$\displaystyle x_Py_Q-x_Qy_P =\frac{1}{2h^2}+\frac{1}{8d^2h^2} =\frac12,\qquad x_P-x_Q=\frac{1+1/(4d)}{h}.$$ また $h=\sqrt{4d^2+1}/(2d)$ だから $$\displaystyle y_R=\frac{\sqrt{4d^2+1}}{4d+1}>0,\qquad OR=\frac{\sqrt{4d^2+1}}{4d+1}.$$ この関数を $f(d)$ とおくと $$\displaystyle \frac{f'(d)}{f(d)} =\frac{4d}{4d^2+1}-\frac4{4d+1} =\frac{4(d-1)}{(4d^2+1)(4d+1)}.$$ 分母は $d>0$ で正なので、$f$ は $0<d<1$ で減少し、$d>1$ で増加する。よって最小となるのは $d=1$、(1)から $a=1/4$ であり、最小値は $$\displaystyle \boxed{(a,d)=\left(\frac14,1\right)},\qquad \boxed{\min OR=\frac{\sqrt5}{5}}.$$

**使用解法:** 像の方向ベクトルと内積による垂直条件、判別式による重解条件、座標計算、導関数による最小値判定。

**issues:** なし。