5鹿児島大学 2009年 数学 第5問解答・解説

agraph{5-1(1)} $A+B=E$ と $AB=O$ より $$A=A(A+B)=A^2+AB=A^2$$ なので $A^2=A$ である。また $$BA=(A+B)A-A^2=A-A=O,$$ さらに $$B^2=(A+B)B-AB=B-O=B$$ となる。

agraph{5-1(2)} $M=\alpha A+\beta B$ と $E=A+B$ から $$M-\beta E=(\alpha-\beta)A.$$ ここで $\alpha-\beta>0$ だから $$\displaystyle A=\frac{M-\beta E}{\alpha-\beta},\qquad B=E-A=\frac{\alpha E-M}{\alpha-\beta}.$$

agraph{5-1(3)} (1) の結果を用いると $$M^2=(\alpha A+\beta B)^2=\alpha^2A+\beta^2B,$$ したがって $$M^2-(\alpha+\beta)M+\alpha\beta E=O.$$ 一方、与えられた $M$ を直接掛けると $$M^2=\begin{pmatrix}17&16\\-8&-7\end{pmatrix}=4M-3E.$$ よって $$(4-\alpha-\beta)M+(\alpha\beta-3)E=O.$$ 左辺の $(1,2)$ 成分から $4(4-\alpha-\beta)=0$、ゆえに $\alpha+\beta=4$ である。$(1,1)$ 成分から $5(4-\alpha-\beta)+\alpha\beta-3=0$ なので $\alpha\beta=3$ となる。従って $\alpha,\beta$ は $t^2-4t+3=0$ の二根 $1,3$ であり、$\alpha>\beta$ より $\alpha=3,\beta=1$ である。 $$\displaystyle A=\frac{M-E}{2}=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix},\qquad B=\frac{3E-M}{2}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&2\end{pmatrix}.$$

agraph{5-1(4)} $M=3A+B$ で、$A^2=A,\ B^2=B,\ AB=BA=O$ である。$n=1$ で $M^n=3^nA+B$ と成り立ち、これが成り立つとき $$M^{n+1}=(3^nA+B)(3A+B)=3^{n+1}A+B$$ となるから、帰納的に $n\geq1$ で $M^n=3^nA+B$ である。従って $$M^n=\begin{pmatrix}2\cdot3^n-1&2\cdot3^n-2\\-3^n+1&-3^n+2\end{pmatrix}.$$

agraph{5-2(1)} 点 $(x,y)$ から $F_1,F_2$ までの距離をそれぞれ $r_1,r_2$ とする。条件は $r_1+r_2=2a$ である。また $$r_1^2-r_2^2=((x+1)^2+y^2)-((x-1)^2+y^2)=4x$$ だから、$r_1-r_2=2x/a$ となり、$r_1=a+x/a$ である。これを $r_1^2=(x+1)^2+y^2$ に代入して整理すると $$\displaystyle \frac{a^2-1}{a^2}x^2+y^2=a^2-1,$$ すなわち $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-1}=1.$$ 逆に、この式を満たせば $|x|\leq a$ であり、$a\pm x/a\geq0$ である。式を用いて距離の二乗を計算すると $r_1=a+x/a,\ r_2=a-x/a$ となるので、その和は $2a$ である。従って求める楕円の方程式は上式である。

agraph{5-2(2)} $t=a^2$ とおくと $t>1$ である。直線 $y=2-x$ を楕円に代入すると $$(2t-1)x^2-4tx+5t-t^2=0.$$ 接するためにはこの二次方程式の判別式が $0$ であるから $$16t^2-4(2t-1)(5t-t^2)=0,$$ $$t(2t-5)(t-1)=0.$$ $t>1$ より $t=5/2$、従って $a=\sqrt{5/2}$ である。重解は $$\displaystyle x=\frac{4t}{2(2t-1)}=\frac54,$$ ゆえに $y=2-x=3/4$ であり、$P=(5/4,3/4)$ である。代入確認では $x^2/a^2=5/8$、$y^2/(a^2-1)=3/8$ となり、和は $1$ である。

agraph{5-2(3)} 接線は $x+y=2$ で傾き $-1$ だから、点 $P$ を通る法線の傾きは $1$ である。その方程式は $$\displaystyle y-\frac34=x-\frac54,\qquad y=x-\frac12$$ であり、$x$ 軸との交点は $Q=(1/2,0)$ である。距離を計算すると $$\displaystyle PF_1=\frac{3\sqrt{10}}4,\quad PF_2=\frac{\sqrt{10}}4, \quad QF_1=\frac32,\quad QF_2=\frac12.$$ 従って両比は $3$ で等しい。

agraph{5-3(1)--(3)} 原文が述べるのは、ある日に生存する各個体について、翌日の生存確率が他個体の数に左右されず $p$ であることまでである。異なる個体の翌日の生存事象が独立であるとは述べられていない。そのため、個体数が複数の場合、全員が死亡する同時確率はこの条件だけからは決まらない。

この不足は、次の二つのモデルを比べれば分かる。第一のモデルでは、各日に生存中の各個体が互いに独立に確率 $p$ で翌日も生存する。このとき各個体が第 $k$ 日まで生存する確率は $p^{k-1}$ であり、 $$P(X_2=0)=(1-p)^n,\qquad P(X_3=0)=(1-p^2)^n,$$ また $$P(X_k>0,\ X_{k+1}=0) =P(X_{k+1}=0)-P(X_k=0) =(1-p^k)^n-(1-p^{k-1})^n.$$

第二のモデルでは、毎日、生存個体が一匹以上いれば一つの共通試行を行い、確率 $p$ でその日に生存している全個体が翌日も生存し、確率 $1-p$ で全個体が死亡するとする。各個体の翌日生存確率は、他個体の数にかかわらず $p$ であり、原文の性質を満たす。しかしこのモデルでは $$P(X_2=0)=1-p,\qquad P(X_3=0)=1-p^2,$$ $$P(X_k>0,\ X_{k+1}=0)=p^{k-1}(1-p).$$ $n\geq2$ かつ $0<p<1$ では一般に第一のモデルの値と異なる。よって三問とも原文の条件だけでは一意な答えを持たず、上記の積の式は個体間・日ごとの独立性を追加した場合に限る。$n=1$ の場合に限れば三問の値はそれぞれ $1-p,1-p^2,p^{k-1}(1-p)$ となる。

agraph{5-4(1)(a)} 確率密度の積分は $1$ だから $$\displaystyle \int_{-1}^0(x+k)\,dx+\int_0^1(-x+k)\,dx=2k-1=1,$$ 従って $k=1$ である。平均は $$\displaystyle E[X]=\int_{-1}^0x(x+1)\,dx+\int_0^1x(-x+1)\,dx =-\frac16+\frac16=0.$$

agraph{5-4(1)(b)} $k=1$ と対称性から $$\displaystyle P(-0.5\leq X\leq0.5)=2\int_0^{1/2}(1-x)\,dx =2\left(\frac12-\frac18\right)=\frac34.$$

agraph{5-4(2)(a)} 無作為標本の各値の平均は $m$、分散は $\sigma^2$ である。標本平均は各値の和を $n$ で割ったものなので、平均は $m$、分散は $n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$ である。従って大きな $n$ での近似分布 $N(x,y)$ では $$\displaystyle x=m,\qquad y=\frac{\sigma^2}{n}.$$

agraph{5-4(2)(b)} 標本平均の平均は $50$、標準偏差は $20/\sqrt{100}=2$ である。従って $$P(46\leq\overline X\leq52)=P(-2\leq Z\leq1) =P(Z\leq1)-P(Z\leq-2) =1-0.1587-0.0228=0.8185.$$