6筑波大学 2002年 数学 第6問解答・解説

解説

各回の表の回数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従います。位置は「表の回数−裏の回数」なので $S_n=2X-n$、したがって $X=(S_n+n)/2$ です。

(2) 二項確率を直接評価する

$n=100$, $p=1/2$ のとき、$|S_{100}|\ge22$ は $X\le39$ または $X\ge61$ と言い換えられます。$\displaystyle p_k=P(X=k)=\binom{100}{k}/2^{100}$ とおけば、二項分布の対称性から

$$\displaystyle P(|S_{100}|\ge22)=2\sum\limits _{k=61}^{100}p_k.$$

隣り合う項の比は

$$\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{100-k}{k+1}\le\frac{39}{62}\quad(61\le k<100).$$

よって $p_{61+j}\le p_{61}(39/62)^j$ です。有限等比和をその公式で評価すると

$$\displaystyle \begin{aligned} P(|S_{100}|\ge22)&\le2p_{61}\sum\limits _{j=0}^{39}\left(\frac{39}{62}\right)^j\\ &=2p_{61}\frac{1-(39/62)^{40}}{1-39/62}\\ &<\frac{2p_{61}}{1-39/62}=\frac{124}{23}\frac{\binom{100}{61}}{2^{100}}. \end{aligned}$$

$\displaystyle \binom{100}{61}=9\,013\,924\,030\,034\,630\,492\,634\,340\,800$ なので、正確な整数比較 $\displaystyle 2480\binom{100}{61}<23\cdot2^{100}$ により、この上界は $1/20=0.05$ より小さいと分かります。したがって元の確率も $0.05$ 以下です。正規近似・連続補正でも標準化境界は $2.1$ になりますが、それは近似値の確認です。厳密な不等式は二項確率の比と有限等比和の公式によって示しました。

(3) 信頼区間

観測された位置 $-60$ は100回中20回の表に対応するので、標本比率は $0.20$ です。標準誤差は $\sqrt{0.20\cdot0.80/100}=0.04$、95%信頼区間の半幅は $1.96\cdot0.04=0.0784$。したがって信頼区間は $0.1216\le p\le0.2784$ で、小数第2位まででは $0.12\le p\le0.28$ です。