II慶應義塾大学 2025年 数学 第II問解答・解説

(1)　 白玉が$k$個袋にあるとき，赤玉は常に3個なので，赤玉を引く確率は$3/(3+k)$，白玉を引く確率は$k/(3+k)$である。赤玉は袋に戻し，白玉は戻さない。したがって白玉が3個の状態では3個のままの確率と2個に減る確率がともに$1/2$，2個の状態では2個のままの確率が$3/5$，1個に減る確率が$2/5$，1個の状態では1個のままの確率が$3/4$である。よって $$\displaystyle \begin{cases} a_{n+1}=\dfrac12a_n,\\ b_{n+1}=\dfrac12a_n+\dfrac35b_n,\\ c_{n+1}=\dfrac25b_n+\dfrac34c_n, \end{cases} \qquad (a_0,b_0,c_0)=(1,0,0).$$ まず$a_{n+1}=a_n/2$と初期条件から $$\displaystyle a_n=\left(\frac12\right)^n.$$ 次に，$b_0=0$を用いて漸化式を順に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} b_n&=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac35\right)^{n-1-j}\frac12\left(\frac12\right)^j\\ &=\frac12\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac35\right)^{n-1-j}\left(\frac12\right)^j\\ &=5\left\{\left(\frac35\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}. \end{aligned}$$ 同様に，$c_0=0$を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} c_n&=\frac25\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^{n-1-j}b_j\\ &=2\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^{n-1-j}\left\{\left(\frac35\right)^j-\left(\frac12\right)^j\right\}\\ &=2\left\{\frac{(3/4)^n-(3/5)^n}{3/4-3/5}-\frac{(3/4)^n-(1/2)^n}{3/4-1/2}\right\}\\ &=4\left\{\left(\frac34\right)^{n-1}-2\left(\frac35\right)^{n-1}+\left(\frac12\right)^{n-1}\right\}. \end{aligned}$$ したがって空欄（あ）から（お）は順に$\displaystyle \frac12,\frac12,\frac35,\frac25,\frac34$，空欄（か）から（せ）は順に$(1/2)^n,5,3/5,1/2,4,3/4,-2,3/5,1/2$であり，$3/4>1/2$も満たす。

(2)　 得点が得られるのは，白玉3個の状態で赤玉を引いたときだけである。一度でも白玉を引けば白玉数は2個以下になり，その後3個には戻らない。白玉3個の状態では赤玉・白玉を引く確率がともに$1/2$なので，最初に白玉を引くのが第$k+1$回目（$0\leq k\leq n-1$）なら，その前に得る点数は$k$である。また，$n$回すべてで赤玉を引く場合は$X_n=n$である。よって $$\displaystyle P(X_n=k)=\left(\frac12\right)^{k+1}\quad(0\leq k\leq n-1),\qquad P(X_n=n)=\left(\frac12\right)^n.$$ $Y_n=2^{X_n}$より $$\displaystyle \begin{aligned} E(Y_n)&=\sum\limits _{k=0}^{n-1}2^k\left(\frac12\right)^{k+1}+2^n\left(\frac12\right)^n=\frac n2+1,\\ E(Y_n^2)&=\sum\limits _{k=0}^{n-1}2^{2k}\left(\frac12\right)^{k+1}+2^{2n}\left(\frac12\right)^n\\ &=\sum\limits _{k=0}^{n-1}2^{k-1}+2^n=\frac{2^n-1}{2}+2^n=3\cdot2^{n-1}-\frac12. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Var}(Y_n)&=E(Y_n^2)-\{E(Y_n)\}^2\\ &=3\cdot2^{n-1}-\frac12-\left(\frac n2+1\right)^2\\ &=3\cdot2^{n-1}-\frac14n^2-n-\frac32. \end{aligned}$$ 以上から，空欄（そ）は$n/2+1$，（た）から（て）は順に$3,-1/4,-1,-3/2$である。