4筑波大学 2002年 数学 第4問解答・解説

A=$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$,　　 E=$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$,　 O=$$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$. (1)　 A^2=$$\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}$$=E. よって $a^2=d^2$ から $(a-d)(a+d)=0$. $a+d\ne0$ なので $a=d$. また $b(a+d)=c(a+d)=0$ より $b=c=0$. さらに $a^2=1$ だから $a=\pm1$ であり、$A=E$ または $A=-E$. (2)(i)　 $a=d$ とおくと　 A^2+E=$$\begin{pmatrix}s&2ab\\2ac&s\end{pmatrix}$$,　　 $s=a^2+bc+1$. B=$$\begin{pmatrix}s&-2ab\\-2ac&s\end{pmatrix}$$ とおけば、成分を掛け合わせて　 $(A^2+E)B=B(A^2+E)=DE$, 　 D=s^2-4a^2bc=(bc+1-a^2)^2+4a^2>0　(a$\ne$0). 従って $B/D$ は $A^2+E$ の逆行列である。 (2)(ii)　 $A^4=E$ より　 $(A^2+E)(A^2-E)=A^4-E=O$. (i)で $A^2+E$ の逆行列を得たので、左から掛けると $A^2-E=O$,すなわち $A^2=E$. また $a=d\ne0$ より $a+d=2a\ne0$ であるから (1) を適用して $A=E$ または $A=-E$.