千葉大学 2001年数学第4問解答・解説

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1問題

千葉大学2001年度第4問

2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ( $a, b, c, d$ は実数) に対して, 実数 $f(A)$ を $f(A) = a + d$ と定義する。これについて性質

$f (A \pm B) = f (A) \pm f (B) \quad (\text {複号同順})$

は証明なしで使ってよい。

(1) 2次正方行列 A, B に対して, $f(AB) = f(BA)$ を証明せよ。

(2) 2次正方行列 P, Q が P = PQ - QP を満たしているとする。このとき, $f(P) = 0$ を証明せよ。

(3) (2) の P に対して, $f(P^{2}) = 0$ を証明せよ。

(4) (2) の P に対して, $P^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ を証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) A= $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , B= $\begin{pmatrix}e&g\\h&k\end{pmatrix}$ とおくと、 $f(AB)=ae+bh+cg+dk,\quad f(BA)=ea+gc+hb+kd$ . 実数の積の交換法則より両者は等しい。 (2) $f(P)=f(PQ-QP)=f(PQ)-f(QP)=0$ （(1)）。 (3) P=PQ-QP より $f(P^2)=f(P(PQ))-f(P(QP))=f(P^2Q)-f(PQP)$ . (1) を A=PQ,B=P に適用すると f(PQP)=f(P^2Q) だから $f(P^2)=0$ (4) P= $\begin{pmatrix}u&v\\w&x\end{pmatrix}$ とする。(2) より $u+x=0$ 、(3) より $u^2+vw+wv+x^2=0$ 。よって $x=-u$ を代入して $u^2+vw=0$ . 一方、P^2= $\begin{pmatrix}u^2+vw&v(u+x)\\w(u+x)&wv+x^2\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ .

この問題で使う考え方

行列を用いた表現
実数と無理数

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