5千葉大学 2001年 数学 第5問解答・解説

放物線 $C$ の頂点を $(u,v)$ とすると $$C:\ y=(x-u)^2+v,\qquad u^2+(v-2)^2=1,\qquad 1\le v\le3.$$ 接点を $x=u+t$ とおくと、その点での接線の傾きは $2t$ で、接線は $$y=2t(x-u-t)+t^2+v$$ である。原点を通る条件は $$t^2+2ut-v=0.$$ ここで $v\ge1$ より $\sqrt{u^2+v}>|u|$ だから、正の傾きを与える解は $$t=-u+\sqrt{u^2+v}>0.$$ したがって接点の $x$ 座標は $u+t=\sqrt{u^2+v}$ である。 円の条件から $$\displaystyle u^2+v=1-(v-2)^2+v =\frac{13}{4}-\left(v-\frac52\right)^2 \quad(1\le v\le3).$$ よってこれは $\displaystyle v=\frac52$ のとき最大値 $\displaystyle \frac{13}{4}$ をとり、そのとき $\displaystyle u^2=1-(\frac12)^2=\frac34$ なので頂点は $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac52\right),\qquad \left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac52\right).$$ また $$(u^2+v)-1=-v^2+5v-4=(v-1)(4-v)\ge0 \quad(1\le v\le3)$$ より最小値は $v=1$ のときの $1$ であり、このとき $u^2=0$。したがって最小となる頂点は $(0,1)$ である。接点の $x$ 座標の最大値は $\displaystyle \frac{\sqrt{13}}2$、最小値は $1$。