8千葉大学 2001年 数学 第8問解答・解説

(1) $30!$に含まれる素因数2の個数は、$\displaystyle \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor$=15+7+3+1=26。従って求める最大のkは26。

(2) 30!に含まれる素因数5の個数は$\displaystyle \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor$=6+1=7。素因数2の個数はこれより多いので、末尾の0は7個連続する。

(3) 各$m=1,\ldots,30$についてmから素因数2,5をすべて除いた数をu_mとおくと、$\displaystyle 30!=2^{26}5^7U,\quad U=\prod\limits _{m=1}^{30}u_m$。各$u_m$は奇数であり、各10個ごとのu_mの5を法とする剰余の積は$\displaystyle \prod\limits _{m=1}^{10}u_m\equiv2,\quad \prod\limits _{m=11}^{20}u_m\equiv3,\quad \prod\limits _{m=21}^{30}u_m\equiv1\pmod5$となる（各ブロックの剰余列は順に$(1,1,3,1,1,3,2,1,4,1)$、$(1,3,3,2,3,1,2,4,4,1)$、$(1,1,3,3,1,3,2,2,4,3)$）。よって$U\equiv2\cdot3\cdot1\equiv1\pmod5$。末尾の7個の0を除いた整数$\displaystyle R=\frac{30!}{10^7}=2^{19}U$は偶数で、$R\equiv2^{19}\cdot1\equiv3\pmod5$。10を法として偶数かつ5を法として3である数は8だから、最初の0でない数字は8である。