7千葉大学 2001年 数学 第7問解答・解説

（1）$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2^{n+2}}$ とおくと、$a_{n+1}=\tan\theta$、$a_n=\tan 2\theta$ である。$n\ge1$ なので $\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{4}$ であり、二倍角の公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2a_{n+1}}{1-a_{n+1}^2},\\ \frac{2}{a_n}&=\frac{1-a_{n+1}^2}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}-a_{n+1}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{2}{a_n}$ が成り立つ。

（2）(1) の式で $n$ を $n-1$ に置き換えると、$n\ge2$ に対して $$\displaystyle a_n=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{a_{n-1}},\qquad \frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2^n a_n}-\frac{1}{2^{n-1}a_{n-1}}$$ となる。よって $N\ge2$ について隣り合う項が打ち消し合うことを利用して和をとる。$\displaystyle a_1=\tan\frac{\pi}{4}=1$ だから $$\displaystyle S_N=\sum\limits _{n=1}^{N}\frac{a_n}{2^n} =\frac{a_1}{2}+\left(\frac{1}{2^N a_N}-\frac{1}{2a_1}\right) =\frac{1}{2^N a_N}.$$ ここで $\displaystyle x_N=\frac{\pi}{2^{N+1}}$ とおけば、$a_N=\tan x_N$ かつ $\displaystyle 2^{-N}=\frac{2x_N}{\pi}$ なので $$\displaystyle S_N=\frac{2}{\pi}\frac{x_N}{\tan x_N}.$$ $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ では $\displaystyle \cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1$ であるから、$x\to0^+$ のとき $\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1$ かつ $\cos x\to1$ となり、$\displaystyle \frac{x}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x/x}\to1$ である。$x_N\to0^+$ より $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\pi}{2^{n+1}} =\lim\limits _{N\to\infty}S_N=\frac{2}{\pi}.$$