2東京医科歯科大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 二倍角の公式を順に用いると、 $$\displaystyle \sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2 =4\sin\frac t4\cos\frac t4\cos\frac t2 =8\sin\frac t8\cos\frac t8\cos\frac t4\cos\frac t2.$$ ここで $0<t<\pi$ より $\sin(t/8)>0$ である。したがって両辺を $8\sin(t/8)$ で割れば、求める等式を得る。

(2) 漸化式より $$\displaystyle a_n=\prod\limits _{k=1}^{n}\cos\frac{t}{2^k}.$$ 二倍角の公式を $n$ 回用いると $$\displaystyle \sin t=2^n\sin\frac{t}{2^n}\prod\limits _{k=1}^{n}\cos\frac{t}{2^k}$$ となるので、 $$\displaystyle a_n=\frac{\sin t}{2^n\sin(t/2^n)}.$$ $x=t/2^n$ とおけば $x\to0$ であり、 $$\displaystyle 2^n\sin\frac{t}{2^n}=t\,\frac{\sin(t/2^n)}{t/2^n}\longrightarrow t$$ である（$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\sin x/x=1$）。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac{\sin t}{t}.$$

(3) $b_1=\sqrt{1/2}=\cos(\pi/4)$ である。$b_{n-1}=\cos(\pi/2^n)$ とすると、半角公式および右辺が正であることから $$\displaystyle b_n=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/2^n)}2}=\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}.$$ したがって帰納的に $b_n=\cos(\pi/2^{n+1})$ であり、 $$\displaystyle c_n=\prod\limits _{k=1}^{n}\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}.$$ ここで $\sin(\pi/2)=1$ に二倍角の公式を $n$ 回適用すると $$\displaystyle 1=2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}\prod\limits _{k=1}^{n}\cos\frac{\pi}{2^{k+1}} =2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}\,c_n,$$ よって $$\displaystyle c_n=\frac{1}{2^n\sin(\pi/2^{n+1})}.$$ さらに $$\displaystyle 2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} =\frac{\pi}{2}\,\frac{\sin(\pi/2^{n+1})}{\pi/2^{n+1}}\longrightarrow\frac{\pi}{2}$$ であるから、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}c_n=\frac{2}{\pi}.$$