3東京医科歯科大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1)

条件 (b) より $g(0)=-g(0)$ なので $g(0)=0$ である。条件 (c) で $y=0$ とすると，$x>0$ に対して $$f(x)=f(x)f(0)+g(x)g(0)=f(x)f(0).$$ $f(x)>0$ より $f(0)=1$。

(2)

条件 (c) で $y=-x$ とし，条件 (b) を用いると $$1=f(0)=f(x)f(-x)+g(x)g(-x)=f(x)^2-g(x)^2.$$ したがって $f(x)^2-g(x)^2=1$。

(3)

$f$ は偶関数であり，条件 (a) と (1) より全実数で $f(x)>0$ である。条件 (d) から $g(x)\to0$，また (2) から $f(x)^2=1+g(x)^2$ なので $f(x)\to1$。そこで (2) を用いて有理化すると $$\displaystyle \frac{1-f(x)}{x^2} =\frac{1-f(x)^2}{x^2(1+f(x))} =-\frac{\left(g(x)/x\right)^2}{1+f(x)} \longrightarrow -\frac{2^2}{1+1}=-2.$$

(4)

条件 (c) より $$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =f(x)\frac{f(h)-1}{h}+g(x)\frac{g(h)}{h}.$$ (3) から $\{f(h)-1\}/h^2\to2$ であるため，$\{f(h)-1\}/h\to0$。また条件 (d) より $g(h)/h\to2$。$h\to0$ として $$f'(x)=2g(x).$$

(5)

$x>0$ では条件 (a) より $f(x)g(x)>0$ で，$g(0)=0$ である。したがって，曲線と $x$ 軸，直線 $x=a$ が囲む部分の面積は $0$ から $a$ までの積分である。(4) より $$(f(x)^2)'=2f(x)f'(x)=4f(x)g(x).$$ よって $$\displaystyle 1=\int_0^a f(x)g(x)\,dx =\frac14\bigl(f(a)^2-f(0)^2\bigr) =\frac{f(a)^2-1}{4}.$$ $a>0$ で $f(a)>0$ だから $$f(a)=\sqrt5.$$